Bue vecchio, solco diritto
OTTICA TEORICA
INTRODUZIONE ALL’OTTICA DI FOURIER
ONDE PERIODICHE E SERIE DI FOURIER
Quando si sommano due onde sinusoidali di diversa frequenza come quelle mostrate
in basso, succede una cosa interessante. La risultante non è sinusoidale; ciò suggerisce
che selezionando opportunamente contributi armonici di diverse frequenze, ampiezze e
fasi si possono produrre onde di forme complicate. Il teorema di Fourier afferma che una
funzione f(x) con periodo spaziale
può essere concepita come una somma di funzioni
armoniche le cui lunghezze d'onda sono sottomultipli interi di
(cioè
,
/2,
/3, ecc.).
In altre parole, se f(x) è una funzione periodica di lunghezza d'onda
, essa può essere
rappresentata con una serie di Fourier della forma
dove i termini C sono delle costanti che specificano le ampiezze delle varie funzioni
contribuenti. Si noti che sostituendo alla variabile x la variabile x-vt si viene ad avere
una onda che si propaga e quindi ciò suggerisce di considerare le perturbazioni non
armoniche come somme di onde sinusoidali.
Una formulazione equivalente delle serie sopra introdotte consiste nella rappresentazione
più comune in cui figurano seni e coseni.cioè
I coefficienti di ampiezza sono calcolati in base alle seguenti espressioni integrali:
Gli integrali possono essere calcolati su qualsiasi altro intervallo di valore eguale a
un periodo.
Se la funzione da rappresentare è pari, essa è specularmente simmetrica rispetto
all'asse . In questo caso la sua rappresentazione come
serie di Fourier contiene solo funzioni pari, cioè solo termini coseno e quindi per
ogni valore di m.
Se invece la funzione è dispari, se cioè , la serie di Fourier contiene solo
funzioni dispari seno; per ogni valore di m.
Ovviamente, f(x) in generale non è né pari né dispari e quindi la serie contiene sia
termini seno che termini coseno.
Si tenga presente che fino a questo punto si è discusso unicamente di onde
periodiche estese all'infinito.
1 ) Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica
che si vede nella figura a lato.
E' evidente che la funzione è dispari
cui i termini coseno sono tutti nulli; .
I coefficienti si calcolano con la formula
che, sostituendovi i valori effettivi di f(x), diventa
In altre parole
e la serie cercata è
Di passaggio, si ricordi che quando una funzione ha lo stesso andamento sopra e
sotto l'asse, la sua rappresentazione in serie contiene solo armoniche dispari, cioè
solo multipli dispari di k, detta frequenza spaziale angolare fondamentale. Se la
soprastante curva viene ruotata di 180° attorno all'asse x e spostata in avanti
di , essa resta immutata; proprietà si dà a volte il nome di simmetria a vite.
2)
Sommare graficamente i primi tre contributi alla serie di Fourier dell'onda quadra
del precedente problema.
La somma dei primi N termini
di una serie di Fourier è detta
la sua N-esima somma parziale.
Per l'onda quadra la prima
somma parziale, è
riportata in figura (a).
La seconda somma parziale,
è riportata in figura (b).
In essa la terza armonica
(di frequenza 3k) ha una
ampiezza di solo 0,4. La
terza somma parziale,
è rappresentata in figura(c).
Si noti che ogni termine della
serie è un seno positivo, che quindi
sono tutti in fase per x = 0
3)
Ricavare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica della
sottostante figura . Rappresentare graficamente ognuna delle prime sei armoniche,
come anche la sesta somma parziale.
La funzione è chiaramente dispari, il che significa che . Nell'intervallo compreso
tra e quindi
e quindi
La sottostante figura riporta igrafici delle prime sei armoniche e quello della sesta somma
parziale.
Si osservi che i segni meno della serie equivalgono a uno sfasamento.
4)
La sottostante figura, riporta una funzione periodica, il cui tratto ripetitivo
corrisponde alla funzione . Ricavare la serie di Fourier corrispondente.
La funzione è evidentemente pari, per cui e
Si deve anzitutto valutare Ao:
Integrando l'espressione per , si ha
quindi
5)
Si consideri un campo elettrico di un'onda elettromagnetica che abbia l'andamento
piuttosto insolito rappresentato nella sottostante figura. Si tratta della nota funzione
seno raddrizzata ad una alternanza.
Ricavare la sua rappresentazione in serie di Fourier
Questa volta la funzione, con l'asse verticale nella posizione indicata, non è né pari
né dispari. Si ha
eccetto che per
, nel qual caso l'integrale è nullo (cioè, ). Sviluppando,
che è nullo per valori dispari di m e dà
per valori pari di m. Analogamente
che, stanti i limiti di integrazione, è nullo per tutti gli . Quando invece
,
Quindi
6)
Si consideri una onda piana di ampiezza che colpisca normalmente una rigatura
di Ronchi orizzontale molto estesa. Quest'ultima è un reticolo formato da strisce
trasparenti e opache, tutte larghe b, che si alternano tra loro. Il campo elettrico che
emerge dal reticolo è una funzione a gradino. Ricavare la sua rappresentazione in
serie di Fourier, supponendo che essa si estenda realmente all'infinito.
Nella figura a lato è riportato il campo come
visto lungo una verticale che attraversa la
rigatura. Ponendo l'origine a metà di un picco,
si ha una funzione pari, per cui .
Quindi, con ,
Si tenga presente che in questo caso
è il
periodo spaziale della funzione apertura e
non la lunghezza dell'onda incidente.
Proseguendo
Di conseguenza, si può pensare che il campo che
attraversa l'apertura abbia un contenuto armonico
specifico, e precisamente che
Come nel problema 5), la funzione è tutta sopra l'asse x e quindi ha un valore
medio non nullo, cioè . In effetti questo significa che per passare da una
situazione come quella di figura [A], all’inizio, a quella di questo problema, si deve
"sollevare" la funzione includendovi un termine costante .
[A]
7) Ricavare una forma esponenziale complessa della serie di Fourier.
Usando le identità
l'espressione trigonometrica
può essere scritta come
Dopo una serie di passaggi, si ottiene
o
dove
Una espressione ancora più concisa si ottiene introducendo le frequenze spaziali
negative, cioè valori negativi di mk, con il che si ha
I coefficienti complessi sono dati per tutti i valori di m da
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