Amo gli adolescenti perché tutto quello che fanno lo fanno per la prima volta
OTTICA TEORICA
RADIAZIONE DA UNA SORGENTE LINEARE
RADIAZIONE PROVENIENTE DA UNA SORGENTE LINEARE COERENTE
Si consideri una fila ordinata di N oscillatori
coerenti identici come quelli di figura a destra.
Si supponga che il piano di osservazione sia
abbastanza lontano perché i raggi che si
incontrano in un dato punto P di esso si
possano considerare praticamente paralleli.
Tutte le onde hanno in P all'incirca la
stessa ampiezza, per cui il campo risultante
è la parte reale di
Dalla figura si vede che le differenze di fase sono date
da
Per cui
Come noto la serie geometrica racchiusa tra parentesi
quadre è eguale a
per cui si ha
Se si indica con R la distanza tra il centro della fila di oscillatori e P, si ha una ulteriore
semplificazione:
da cui
L'espressione trovata rappresenta un'onda proveniente dal centro della fila di emittenti,
la cui ampiezza è modulata dalla funzione di posta tra parentesi quadre. La
corrispondente intensità di radiazione, proporzionale a , è
La situazione analizzata può essere riferita ad una fila di antenne sia emittenti che
riceventi. In pratica si farà ampio uso di questo risultato quando si studierà la
diffrazione risultante da una fenditura sottile.
Si supponga ora che N cresca indefinitamente
e che la distanza tra le sorgenti puntiforrni vicine
tenda a zero. Detta la forza di una singola
sorgente, ogni onda emessa è rappresentabile
con la espressione
Un segmento della fila, contiene, come
indicato nella figura a lato, emittenti
e si suppone che vi siano M segmenti del genere.
Allora il segmento i-esimo dà al campo in P un
contributo
Se si fa tendere N all'infinito e a zero, si può definire una forza per unità di lunghezza
come
donde l'intero campo in P diventa
Per una sorgente lineare continua è un.infinitesimo, M va all'infinito e
dove
è una funzione di y.
Si sono così ricavate le descrizioni analitiche di sistemi lineari coerenti costituiti da
un numero finito di emittenti discreti o continui.
1 )
(a) Esprimere la intensità di radiazione come funzione esplicita di
valida per
regioni molto distanti da una sorgente lineare costituita da N emittenti identiche.
(b) Per quali valori si hanno dei massimi?
(c) Determinare il valore di
in funzione della intensità di radiazione di una
singola emittente.
(a) Dato che
(b) La distribuzione della intensità di radiazione presenta dei massimi principali forti
separati da serie di massimi secondari di debole intensità. I massimi principali si
hanno nelle direzioni nelle quali le onde di figura [a] sono tutte in fase.
In altre parole dove . Sapendo che
e naturalmente , i massimi si hanno per quegli angoli che sod-
-disfano alla condizione
[fig.A]
(c) Per determinare o, il che è lo stesso, si deve determinare
quando
. Per la regola de L'Hospital questo rapporto per questi valori
di
è eguale a N, per cui
come ci si doveva del resto aspettare dato che in queste direzioni tutte le onde
sono in fase e quindi la ampiezza risultante deve essere .
2)
Gli atomi sono disposti a distanze l'uno dall'altro dell'ordine di
, cioè
e
irraggiano nel visibile attorno a
. Cosa ci si deve attendere da una sorgente
lineare di questo tipo per quanto riguarda ? Che relazione c'è tra questo risultato
e la riflessione speculare?
Per il precedente problema
dà le direzioni dei massimi principali. Per le radiazioni atomiche nel campo del
visibile, À è cinquemila volte più grande di a. Inoltre , il che significa che
per tutti i valori di m diversi da m=0. In altre parole quando
rimane come
unico massimo possibile quello di ordine zero (per ).
Ciò spiega perché l'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono eguali, Una
onda che colpisce una interfaccia con un angolo man mano che percorre la
superficie eccita un atomo dopo l'altro di essa con la conseguenza che ogni emittente
atomico è in ritardo rispetto all'altro di un valore fisso.
Questo fa sì che l'onda irradiata dalla superficie, cioè il lobo centrale, si discosti di un
angolo
dalla normale alla sorgente lineare, dove ovviamente .
3)
(a) Determinare dove è nulla la intensità di radiazione dovuta ad un sistema lineare
di N emittenti coerenti.
(b) Assumendo che N = 20, spiegare il risultato di (a) dal punto di vista di come
interagiscono le singole onde, considerando un punto di osservazione distante
dalla sorgente.
(a) Le direzioni in cui si hanno i minimi sono facilmente determinate tramite la
relazione
Evidentemente, ovunque ... Un altro
procedimento consiste nel considerare che i minimi si hanno quando
dove , e così via, omettendo i multipli interi di N che corrispondono
ai massimi principali.
(b) Per il primo minimo,
e
Ma dalla figura [a] all’inizio pagina, si può vedere che è proprio la
differenza di fase tra la prima e la 11-esima onda. Ne segue che queste due onde
devono elidersi a vicenda, dato che in P sono sfasate di
radianti. Ma anche la
seconda e la 12-esima onda sono sfasate di
radianti, e così anche la terza e
la 13-esima, ecc. fino alla decima e 20-esima. Ovviamente nessuna di queste
coppie può dare contributo alcuno a .
Analogamente, il secondo minimo in entrambi i sensi della direzione
si ha per
e
In questo caso si annullano tra loro la prima e la sesta, così come la 11-esima e la
16-esima.
Si noti che il processo non sarebbe stato così quasi ovvio se N non fosse stato un
numero intero pari.
4)
Tracciare un grafico approssimativo di nel caso di quattro emittenti identiche
disposte in modo da formare una sorgente lineare coerente e in cui la distanza a
che separa due emittenti adiacenti è maggiore di
. Confrontare questo caso con
quello di una fila di otto sorgenti disposte nello stesso modo. In entrambi i casi si
considerino piani di osservazione molto distanti dalle sorgenti.
Le posizioni dei massimi principali sono date da
indipendentemente dal valore di N. Le posizioni a intensità di radiazione nulla sono
date da
come si è visto nel precedente problema 3).
Quindi per N= 4, i massimi principali si hanno per eguale a 0, ±1, ±2,
ecc., mentre i minimi si hanno per eguale a ±1/4,±1/2,±3/4,±5/4, ecc.
Tra due direzioni adiacenti a intensità di radiazione nulla vi deve essere un massimo.
La fig. 7-3 riporta la distribuzione che ne segue (senza preoccuparsi della altezza
dei massimi secondaii). Quando N = 8, le posizioni dei massimi principali non
cambiano. Vi sono ancora N-1 minimi disposti tra due massimi principali consecutivi
dove è eguale a ±1/8,±1/4,±3/8,±1/2,±5/8,±3/4,±7/8,±9/8, ecc
5)
Tracciare un diagramma polare approssimativo della distribuzione della intensità di
radiazione a grande distanza da una sorgente lineare formata da quattro emittenti
coerenti poste a distanza l'una dall'altra.
Per N=4, si ha
e
Si hanno massimi principali solo quando m=0, cioè quando
Si hanno minimi quando
cioè
Il soprastante grafico riassume tutto ciò. Si tenga presente che la distribuzione è
tridimensionale; i lobi mostrati sono solo una sezione trasversale in un piano qualsiasi
che contenga la sorgente lineare
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