Abbiate soprattutto il desiderio di separare le cose dal rumore che esse fanno.

OTTICA TEORICA

L’EQUAZIONE DELLA LENTE SOTTILE

Una lente è un sistema rifrangente composto da due o più interfacce, una almeno delle quali deve essere curva. In questo capitolo si considereranno solo lenti con indice di rifrazione uniforme. La bacchetta di figura a lato, rappresenta una lente semplice, fatta cioè da un solo elemento, il che a sua volta significa che essa ha solo due interfacce rifrangenti. Una lente composta è fatta di due o più lenti semplici. Una lente sottile, semplice o composta, è una lente il cui spessore non ha un effetto significativo e quindi può essere trascurato. La figura a lato illustra la nomenclatura associata ad una lente sferica semplice. La luce può essere seguita attraverso ambedue le interfacce; se lo spessore è veramente trascurabile e se si considerano solo raggi parassiali, si può dimostrare che

dove, al solito, . Questa è la cosiddetta equazione della lente sottile, detta anche "formula del costruttore di lenti". Si noti che se è eguale alla grandezza sulla destra e la stessa cosa vale per se . In altre parole, , dove

La equazione della lente sottile può quindi essere riscritta come formula gaussiana della lente:

[A]

Una onda sferica con origine in S (figura A) colpisce una lente positiva, cioè una lente più spessa al centro che ai bordi. La parte centrale del fronte d'onda viene quindi rallentata più dalle parti esterne e il fronte d'onda viene quindi invertito e converge in P. Un elemento del genere è detto lente convergente e i raggi di luce sono dalla lente piegati verso l'asse ottico. Come indicato nelle sovrastanti figure il ragionamento qui fatto presuppone che l'indice del mezzo, , sia minore di . Se invece una lente convergente sarà più sottile al centro che ai bordi. Parlando in termini generali , una lente più sottile al centro è detta negativa, concava o divergente. La luce che attraversa una lente del genere tende sempre a piegare allontanandosi dall'asse ottico, almeno più di quanto lo facesse all'ingresso.

1 ) Ricavare la equazione della lente sottile usando considerazioni geometriche e il fatto che un'onda sferica colpisce la lente e un'onda sferica lascia la lente.

Riferendosi alla figura a lato, si deve tener in mente che il fronte d'onda ABL deve essere deformato a formare il fronte d'onda EFG. Ciò significa che le lunghezze di cam- -mino ottico tra punti corrispondenti dei fronti devono essere eguali, cioè che

Considerando solo raggi parassiali, e

oppure

Si noti che ognuno dei tratti rappresenta la distanza tra una corda e la circonferenza di un cerchio (ed è detta anche freccia)

Dalla figura a destra si ricava o in generale

Se x è piccolo,

[a]

Applicando questa relazione ad ogni freccia x ( sono piccoli dato che si è supposto che la lente sia sottile) dalla [a] si ha

[b]

Per raggi parassiali, ; poichè dalla [b] si ha

2) Una sorgente puntifonne Sè collocata sull'asse di una lente sottile piano-convessa, a 30 cm di distanza. Si supponga che la lente di vetro sia immersa in aria (n(m = 1,5) e che abbia un raggio di 5 cm. Determinare la posizione dell'immagine (a) nel caso che la superficie piana sia dal lato di S e (b) nel caso lo sia la superficie curva.

(a) Dato che

e . L'immagine è reale e sulla destra della lente

(b) Con , si ha

Quindi , come in (a)

3) Quale deve essere la distanza focale di una lente sottile positiva se si vuole che la distanza dell'oggetto e dell'immagine siano rispettivamente 90 e 45 cm?

Dalla formula gaussiana della lente si ha

e quindi f = 30 cm. Si noti che una lente positiva o convergente ha una distanza focale positiva mentre una lente negativa o divergente ha una distanza focale negativa

4) Calcolare la distanza focale della lente sottile biconcava come la figura alla tua destra nel caso sia fatta di vetro flint (nl = 1,66) e immersa in acqua (nw = 1,33).

Con luce proveniente da sinistra , e

Ne segue che f = -26,9 cm, e la lente è negativa come ci si aspettava

5) Calcolare la distanza focale della lente sottile biconcava del precedente problema, supponendo che sia fatta di fluorite (nt = 1,43) immersa in bisolfuro di carbonio (nm = 1,63).

Come nel precedente problema , ma ora

e f = +54,3 cm. La lente circondata da un mezzo con indice maggiore è ora convergente, i raggi sono cioè deviati verso l'asse ottico.

6) Disegnare una lente asferica, non necessariamente sottile, che trasformi un fronte d'onda sferico 'proveniente da una sorgente puntiforme assiale in un raggio collimato (onde piane).

Facendo riferimento alla figura alla tua destra, si ritagli la estremità ellissoidale e vi si ricavi una superficie semisferica, come indicato in figura [A]. Se il punto S è sia il centro della sfera che un fuoco dell' ellissoide, le onde non saranno deviate sulla prima interfaccia e emergeranno piane dalla seconda. Analogamente la precedente soluzione del problema suggerisce di usare una lente piano- convessa a profilo di iperboloide, come in figura [B]. S è un fuoco dell'iperboloide

[A]

[B]

7) Una lente sottile biconvessa di indice 1,5 ha una distanza focale di 50 cm nell'aria. D'altra parte la stessa lente immersa in un liquido trasparente ha una distanza focale di 250 cm. Determinare l'indice di rifrazione n del mezzo liquido.

Dato che la distanza focale di una lente sottile è data da

il rapporto delle lunghezze focali in mezzi diversi

è indipendente dai raggi. Quindi

8) II punto S e la sua immagine reale P della figura lato, sono detti coniugati: una sorgente in P avrebbe l'immagine in S e viceversa. Si può dimostrare che la distanza minima tra punti coniugati di una lente sottile è 4f e che questa si ha per So = Si. Tracciare un grafico di So + Si in funzione di So, facendo variare quest'ultimo per multipli di un dato f

Preparare anzitutto una tabella dei valori usando la formula gaussiana della lente nella forma si = s0 f/(s0 - f).

2,5f

1,5f

1,25f

1,20f

1,25f

1,33f

1,50f

1,66f

so+si

7,20f

6,25f

5,33f

4,50f

4,16f

4,50f

6,25f

Si noti che per valori di So < f, Si < 0; l'immagine è cioè virtuale. La tabella è tradotta nelsottostante grafico

9) Determinare il rapporto tra la distanza focale di una lente sottile piano-convessa e quella di una lente sottile biconvessa, assumendo che tutti gli indici siano gli stessi e che tutte le superfici sferiche abbiano la stessa curvatura.

Detta fpc la distanza focale della lente piano-convessa e fbc quella della lente biconvessa, si ha

Quindi

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