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OTTICA TEORICA

SUPERFICI RIFRANGENTI NON SFERICHE

INTRODUZIONE ALL’OTTICA GEOMETRICA Queste pagine si occuperanno delle tecniche di base utilizzate per raccogliere e dare nuova forma ai fronti d'onda, per lo più allo scopo di costruire un qualche tipo di immagine. Di conseguenza si esamineranno vari tipi di sistemi di riflessione e di rifrazione (lenti, spec- -chi, ecc.) che servono a modificare i fronti d'onda in modo da ottenere gli effetti desiderati. Il campo della ottica geometrica, come disciplina distinta dall'ottica fisica, è limitato a quei casi in cui sono trascurabili gli effetti di diffrazione dovuti alla natura ondulatoria della luce. Questa limitazione equivale a postulare che la luce si propaghi nei mezzi omogenei secondo linee rette - che cioè i raggi siano assimilabili a linee rette.

SUPERFICI RIFRANGENTI NON SFERICHE Si esaminerà anzitutto come si deforma un fronte d'onda quando attraversa una interfaccia curva che divide due mezzi trasparenti. Una volta fatto ciò, risulterà semplice determinare l'effetto prodotto da una serie di tali superfici (una lente). Si consideri un segmento di onda sferica che si propaga a partire da una sorgente punti- -forme S e si voglia convertirlo in una onda sferica convergente nel punto P, come nella sottostante figura. A tal fine occorre in sostanza ritardare la parte centrale del fronte d'onda rispetto alle sue ali.

Dato che un'onda viaggia più lentamente in un mezzo con indice superiore, viene spontaneo di allungare la interfaccia in prossimità dell'asse SP. Le ali del fronte d'onda in questo modo viaggeranno più a lungo nel mezzo otticamente meno denso (più veloce) e così raggiungeranno e sorpasseranno la regione centrale dell'onda, invertendo così la configurazione del fronte d'onda. Questa particolare configurazione dell'interfaccia è detta ovoide cartesiano. Analogamente, se si volesse ottenere nel secondo mezzo un fronte d'onda piano, si dovrebbe adottare una interfaccia un po' meno curva in modo che le ali raggiungano ma non oltrepassino la regione centrale dell'onda. Ne risulta che l'interfaccia dovrebbe essere iperboloidale con un fuoco in S. Molte superfici, non sferiche presentano un grande interesse pratico, ma esse hanno tutte lo svantaggio di essere di difficile fabbricazione. Nonostante ciò, elementi di precisione non sferici vengono egualmente usati nei casi in cui il loro costo elevato trova una giustifica- -zione (ad esempio nelle apparecchiature da ricognizione).

1 ) Ricavare una espressione analitica per l'ovoide cartesiano della sottostante figura. Si usi il principio di Fermat, spiegando bene l'applicazione che ne viene fatta.

Il principio di Fermat afferma che lungo ogni raggio che va da S a P la lunghezza di cammino ottico deve essere stazionaria. In questo caso una parte di una onda sferica parte da S e deve convergere in P, per cui vi sono più percorsi ammessi per i raggi luminosi. Nessuna delle O.P.L. può essere quindi un massimo o un minimo, il che equivale ad affermare che esse devono essere eguali, cioè che

quale che sia A. Una volta scelte le distanze dell'oggetto e dell'immagine, ' l'equazione dell'ovoide diventa

2) Scrivere l'equazione dell'ovoide cartesiano con distanze dell'oggetto e dell'immagine rispettivamente di 8 e 10 cm. Si supponga che esso sia fatto di vetro e che sia circondato da aria . Disegnare la interfaccia. L'ovoide è dato da

(vedi precedente problema). In questo caso

e quindi

Analogamente per

La sottostante figura è il disegno dell’ovoide

3) In figura (a) è rappresentata una sorgente puntiforme immersa in un mezzo . Discutere qualitativamente la forma che deve avere la interfaccia affinché il fronte d'onda emerga piano.

Per rendere piano il fronte d'onda occorre che ogni parte dell'onda avanzi tanto più velocemente quanto più è lontana dall'asse x. Essendo questo comporta che l'interfaccia sia convessa verso destra, come in figura (B).

(A)

(B)

4) Dimostrare che la interfaccia discussa nel problema (3 è in realtà un ellissoide di rivoluzione con eccentricità e = n21.

Riferendoci alla figura B del soprastante problema, per il rincipio di Fermat

Dividendo per , questa diventa

Se si assume che la linea sia una ellisse con fuochi in Se F, si ha

Se inoltre il punto D è sulla direttrice dell'ellisse,

Se D si trova su un fronte d'onda, ma non sulla direttrice, + costante. In entrambi i casi

E' chiaro quindi che l'interfaccia è una ellisse con . Quando invece la linea del contorno è una ìperbole .

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