Ho il cratere che non funziona. (catetere)
OTTICA TEORICA
ONDE TRIDIMENSIONALI
Si può generalizzare la equazione differenziale delle onde al caso tridimensionale, notando
che le tre variabili spaziali devono comparire in essa simmetricamente.
Ciò vale a dire che la equazione non deve cambiare se si scambiano fra loro le variabili
spaziali, purché il sistema di coordinate resti destrogiro. In ogni caso
è la forma appropriata in tre dimensioni di questa equazione in coordinate cartesiane.
Le soluzioni particolari di maggiore interesse per lo studio dell'ottica sono quelle associate a
onde piane o sferiche.
Scriviamo ora la equazione relativa ad un
piano passante per un punto arbitrario
e perpendicolare ad una direzione
data definita dal vettore di propagazione k,
come indicato in figura. Il vettore
descrive il piano desiderato, essendo
Questa è l'equazione di un piano e quindi
è una funzione definita su una famiglia di
piani tutti perpendicolari a k. Su ognuno di
essi k· r = costante, quindi è una
costante. Spostandosi di piano in piano,
varia sinusoidalmente. Come visto prima,
per trasformarla in una onda piana armonica progressiva, basta semplicemente riscriverla
nella forma
oppure
Il segno meno sta ad indicare movimento nella direzione positiva di k, il segno più
invece movimento nella direzione negativa di k
L'espressione dell'onda sferica armonica è determinata più facilmente se si risolve la
equazione differenziale delle onde in coordinate sferiche. Il procedimento porta a
oppure
dove la costante è detta forza della sorgente. Si noti che l'ampiezza varia in
modo inversamente proporzionale alla distanza dall'origine. Ciò è una necessaria
conseguenza del principio di conservazione dell'energia. Anche in questo caso, i segni più
e meno della fase corrispondono rispettivamente a onde convergenti e a onde divergenti
rispetto all'origine. La espressione data rappresenta, in ogni istante, un insieme di sfere
concentriche, su ognuna delle quali r è una costante e quindi tale è anche .
Invece di una onda armonica avremmo potuto anche considerare un impulso piano
o sferico.
Si immagini, ad esempio, una sorgente puntiforme che, invece di oscillare armonicamente,
si accenda, cresca e quindi si spenga. La perturbazione, per quanto di breve durata, si
propagherebbe in tutte le direzioni come un impulso sferico di un certo tipo.
1)
Si è detto che k· r = costante è l'equazione di un piano normale a k e passante per
un punto dato . Determinare la forma della costante e scrivere la funzione
d'onda armonica in coordinate cartesiane.
L’ equazione del piano è , che in coordinate cartesiane :
e
quindi
oppure
Il primo membro di questa equazione
, mentre il secondo membro è la costante
in questione. La funzione d'onda armonica diventa
2) A causa della ripetitività nello spazio di una onda piana armonica, ci si può
ragionevolmente aspettare che
In altre parole, il profilo dell'onda in una posizione data dello spazio è identico al
profilo a una distanza
nella direzione del vettore unitario di propagazione k/
. Usando
questo fatto e l'espressione esponenziale di o dimostrare che
Nell’espressione esponenziale diventa
Ma e quindi
Ciò implica che
Dato che è la distanza minima di ripetizione e che
deve essere
3) (a) Disegnare il fronte di un'onda piana che si propaga nella direzione delle x
positive.
(b) Scrivere un'espressione per una onda piana armonica di questo genere che si
propaga lungo l'asse delle x.
a)
si veda la figura a destra
b) La funzione d'onda in generale è o in coordinate
cartesiane
Ma in questo caso k è parallelo all’asse dell x, per cui e
4) Scrivere la funzione d'onda piana armonica in coordinate cartesiane in termini dei
coseni direttori dove
e Dimostrare quindi che la funzione è una soluzione della equazione
differenziale delle onde tridimensionali.
Partendo da si sostituiscono a le espressioni
corrispondenti in termini di coseni direttori.
Come si vede in figura.
dove
Quindi
Ora per verificare che questa funzione è una
soluzione della equazione delle onde, si trovano
le derivate del caso
Sommando le prime tre equazioni e facendo uso delle eguaglianze e
si ha
se si esprime, nel secondo membro, in funzione della sua derivata seconda
rispetto al tempo, si ottiene l'equazione delle onde.
5)Dimostrare che
è la soluzione dell'equazione delle onde tridimensionale corrispondente ad una
perturbazione sferica con centro nell'origine e che si allontana da essa ad una
velocità . In questo caso è una funzione arbitraria dotata di derivate
seconde.
L'equazione delle onde in coordinate ortogonali o cartesiane è
Usando le coordinate come indicato in
figura, si ha
l’equazione delle onde diventa
Nel caso in questione occorre determinare una
soluzione avente simmetria sferica. Occorre quindi
che la funzione d'onda sia indipendente da
Ne segue che le derivate parziali rispetto a scompaiono dalla equazione delle onde,
che si riduce a
che può essere scritta come
La variabile indipendente r non è una funzione di t per cui
e l'equazione delle onde diventa
Ora questa è formalmente eguaIe alla equazione delle onde monodimensionale, la
cui soluzione generale è
In questo caso la variabile spaziale è r anziché x, mentre la funzione incognita è
invece di
La soluzione generale è quindi
e quindi per un'onda uscente
6) Finora si sono considerate funzioni d'onda scalari aventi la forma .
Si supponga ora di voler realmente provocare un'onda trasversale del genere, ad
esempio, una perturbazione in una corda. E' evidente che se non si conosce la direzione
dello spostamento, la funzione d'onda scalare non basta a individuare l'onda.
(a) Come si può rimediare a questa lacuna?
(b) Se la perturbazione giace in un piano, detto piano di vibrazione, si dice che l'onda è
polarizzata piana o polarizzata linearmente.
Scrivere una espressione analitica di una onda piana armonica polarizzata linearmente.
a)
La direzione dello spostamento in un'onda trasversale può essere data assumendo
l'ampiezza come un vettore:
dove ,, è ora detto vettore d'onda. I vettori A e k determinano il piano di
vibrazione istante per istante.
b) Per una onda piana armonica polarizzata linearmente A è costante nel tempo e
La soprastante figura mostra vari fronti d'onda piani normali a k. La figura rappresenta
un'onda piana armonica, per cui varia sinusoidalmente da piano a piano.
Inoltre l'onda è polarizzata linearmente, per cui il vettore ampiezza è identico in tutti i
punti di ogni fronte d'onda piano e i corrispondenti piani di vibrazione sono tutti paralleli.
Se invece il vettore ampiezza è una funzione del tempo che varia abbastanza rapidamente
e casualmente, si dice che l'onda è non-polarizzata.
In questo caso generalmente basta la funzione d'onda scalare, donde l'attenzione data ad
essa in questo capitolo
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