A parole essere delle brave persone non è poi cosi difficile
OTTICA TEORICA
ONDE SINUSOIDALI
ONDE SINUSOIDALI
Un’onda il cui profilo sia una sinusoide (vedi sottostante figura) é detta armonlca. Queste
onde presentano un interesse particolare perché in termini matematici è possibile
rappresentare, usando i metodi di Fourier, profili piu complicati come somme di
funzioni seno.
Se (z, 0) — A sin ks, allora
rappresenta una onda armonica progres-
-siva. L’argomento di una funzione seno deve essere adimensionale e a tal fine si introduce
la costante positiva k, detta numero d’onda o frequenza spaziale.
Il massimo dei valori assunti da
è A che è detto ampiezza. Ora la funzione d’onda si
ripete identicamente dopo un certo periodo spaziale o lunghczza d’onda
, cioè è
L = 2 Affinchè ciò siverifichi, il numero d’onda deve essere dato da .
A analogamente se l’onda si deve ripresentare eguale dopo un periodo temporale
, se cioè
deve essere , ne segue che
. Il periodo è il numero di
unita di tempo per onda, il suo reciproco è la frequenza
v, o numero di onde per
uniti di tempo. Si ha quindi
Per analogia con quanto si usa nella meccanica, si può introdurre la frequenza angolare
. Benché nel caso in esame non ci sia niente che compie un moto circolare,
risulta conveniente usare una grandezza come
avente le dimensioni di un radiante al
secondo. Ne segue che la funzione d’onda puo essere scritta nella
forma
Le onde armoniche sopra introdotte sono definite sia rispetto al tempo che allo
spazio tra - e +
e quindi sono delle astrazioni matematiche. Dato che in
esse figura una sola frequenza, esse sono dette monocromatiche. Nessuna perturbazione
fisica reale ha questa forma, ne esistono però che si avvicinano in misura diversa ad essa
e sono dette quasimonocromatiche.
1)
Dimostrare che, data un’onda armonica, la sua natura ripetitiva nello spazio
, richiede che sia .
E’ noto che la funzione seno si ripete ogni volta che l’argomento aumenta o diminuisce
di . Quindi
Dalla seconda eguaglianza si ha o, dato che sono entrambe positive,
2) Disegnare l’onda agli istanti
Per
Per
Per
3)
La lunghezza d’onda della luce e solitamente misurata in nanometri ( )
Il giallo, ad esempio, che si trova circa a meta d ello spettro, ha una lunghezza d’onda di
circa 580 nm. Si confronti tale lunghezza con il diametro di un capello umano, che è
circa .
Ci vogliono sessantanove lunghezze d’onda per fare il diametro di un capello. Le
lunghezze d’onda della luce, per quanto molto piccole, non sono quindi tanto lontane
dalle grandezze con cui slamo abituati a trattare.
4)Le lunghezze d'onda della luce vanno grosso modo dal violetto (390 nm) al rosso
(780nm). La sua velocità nel vuoto è circa
m/s, come per tutte le onde
elettromagnetiche. Determinare l'intervallo di frequenza corrispondente.
Le unità sono cicli al secondo. Attualmente si usa come unità di frequenza lo hertz,
abbreviato in Hz, invece dei cicli/s. L'intervallo di frequenza va quindi da 380 THz a
770 THz
5) Verificare che la funzione d'onda armonica .p(x, t) è una soluzione
dell'equazione differenziale delle onde a una dimensione.
L’equazione delle onde è
Adesso
mentre
L’equazione delle onde diventa
Quindi, dato che , come notorio è una soluzione.
6) Assumendo che la funzione d'onda (in unità SI) per un'onda luminosa sia
determinare (a ) la velocità, (b) la lunghezza d'onda, (c) la frequenza, (d) il periodo,
(e) l'ampiezza.
(a)Confrontando la con la funzione d'onda data può essere scritta
nella forma
si ottiene immediatamente
(b) Per (a), Quindi
( c)
(d)
(e) Per (a), (cioè volt al metro)