Chi lotta può perdere, chi non lotta ha già perso.
GLI INTEGRALI : Ulteriori definizioni
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Ancora sulla definizione di integrale...
Il problema che ci poniamo adesso è quello di determinare l’area di
una regione del piano che si trova, in un sistema di assi cartesiani
ortogonale, al di sopra dell’asse delle ascisse x e al di sotto del
grafico di una funzione f(x) continua e non negativa al variare della
variabile x in un intervallo [a,b] chiuso e limitato.
A tale proposito:
sia f(x) una funzione definita e
continua in un intervallo [a,b]
chiuso e limitato e sia f(x)≥0 al
variare della variabile x in [a,b]
In tali ipotesi
Si definisce rettangoloide relativo alla funzione f , la parte di piano compresa
tra il grafico di f≥0 e l’asse delle ascisse
Sempre in tali ipotesi, suddividiamo l’intervallo [a,b] in
un numero n di parti uguali mediante punti di divisione:
In questo modo, suddividiamo l’intervallo [a,b] in n
intervalli parziali più piccoli e uguali tra loro:
[xi-1, xi ], i = 1, ....., n ciascuno di ampiezza h = (b-a)/n
Osservazione:
avendo supposto che f(x) sia una funzione definita e continua nell’intervallo [a,b]
chiuso e limitato, in particolare, f(x) risulta definita e continua in ciascuno degli
intervalli parziali [xi-1,xi]
Applicando il teorema di Weierstrass ( che per adesso
non abbiamo mai enunciato e nemmeno dimostrato)
in ciascun intervallino parziale [xi-1,xi] la funzione f è
dotata di minimo mi e di massimo Mi, con i =1,…,n
A partire dai minimi mi in ciascuno degli intervalli
parziali, si possono costruire n rettangoli aventi la base
pari all’ampiezza h di ciascun intervallo parziale e
l’altezza pari ad mi .
È possibile allora calcolare l’area di ciascuno di questi rettangoli
Ad esempio l'area del primo è :
Allo stesso modo, l'area del secondo è :
e quella dell' n-esimo :
Infatti l'area del primo rettangolo sarà , l'area del secondo sarà e quella
dell' n-esimo .
Così,la somma delle aree degli n rettangoli di altezza , con è:
che non è altro che l'area del plurirettangolo inscritto nel rettangoloide.
A partire invece dai massimi in ciascuno degli
intervalli parziali, si possono costruire n rettangoli
aventi la base sempre pari all’ampiezza h di ciascun
intervallo parziale e l’altezza pari ad , con
L’area del primo è: , l’area del secondo è: M2, …
… l’area dell’n-esimo è: .
Così, la somma delle aree degli n rettangoli di altezza
è:
L’insieme degli n rettangoli di altezza Mi è detto plurirettangolo circoscritto
al rettangoloide relativo alla funzione f
E sicuramente vale che:
Cioè, qualunque sia la suddivisione dell’intervallo [a,b] in intervalli parziali, l’area del
plurirettangolo inscritto nel rettangoloide è sempre minore o uguale a quella del
plurirettangolo circoscritto al rettangoloide
Vale poi il seguente Teorema:
Se f(x) è una funzione definita e continua in un intervallo [a,b] chiuso e
limitato e se f(x) ≥ 0 al variare della variabile x in [a,b], allora le somme
sn ed Sn hanno limite finito per n -> + ∞ ed in particolare hanno lo stesso
limite coincidente con l’area del rettangoloide relativo alla funzione f :
ed in particolare :
Il valore comune del limite delle somme sn ed Sn si definisce integrale definito
della funzione f(x) esteso all’intervallo [a,b] e si indica:
e non è altro che l’area del rettangoloide relativo alla funzione f (ti ricordo che
f(x)≥ 0 al variare della variabile x in [a,b])
Lorem Ipsum Dolor
Cupidatat excepteur ea dolore sed in adipisicing id? Nulla lorem deserunt aliquip officia reprehenderit fugiat, dolor excepteur in et officia ex sunt ut, nulla consequat. Laboris, lorem excepteur qui labore magna enim ipsum adipisicing ut. Sint in veniam minim dolore consectetur enim deserunt mollit deserunt ullamco. Mollit aliqua enim pariatur excepteur. Labore nulla sunt, in, excepteur reprehenderit lorem fugiat. Ipsum velit sunt! Non veniam ullamco amet officia ut, ex mollit excepteur exercitation fugiat eu ut esse cupidatat in velit. Non eu ullamco in pariatur nisi voluptate mollit quis sed voluptate ea amet proident dolore elit. Occaecat nostrud dolore sunt, ullamco eu ad minim excepteur minim fugiat. Nostrud culpa eiusmod dolor tempor et qui mollit deserunt irure ex tempor ut dolore. Dolore, nostrud duis ad. In nulla dolore incididunt, sit, labore culpa officia consectetur mollit cupidatat exercitation eu. Aute incididunt ullamco nisi ut lorem mollit dolore, enim reprehenderit est laborum ut et elit culpa nulla. Excepteur fugiat, laboris est dolore elit. In velit lorem id, et, voluptate incididunt ut ad in sunt fugiat, esse lorem. Nisi dolore ea officia amet cillum officia incididunt magna nisi minim do fugiat ut nostrud dolore Qui in est in adipisicing ea fugiat aliqua. Reprehenderit excepteur laboris pariatur officia sit amet culpa aliquip quis elit eiusmod minim. Sint ut ut, proident in mollit do qui eu. Pariatur et cupidatat esse in incididunt magna amet sint sit ad, sunt cillum nulla sit, officia qui. Tempor, velit est cillum sit elit sed sint, sunt veniam.
© Irure ut pariatur ad ea in ut in et. In incididunt sed tempor
