I tacchi alti furono inventati da una donna che era stata baciata sulla fronte
GLI INTEGRALI:TEORIA
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Questa è la derivata della funzione f nel punto x.
CENNI STORICI
L'idea di base del concetto di integrale si trova già in parte nel
metodo usato da Archimede di Siracusa (287-212 aC) per il
calcolo dell'area del cerchio o del segmento
di parabola e più precisamente dell'area
della superficie racchiusa dal primo giro
della spirale.e.
Scarsi sono i particolari sulla vita di
Archimede, ma possiamo ricavare qualche
informazione su di lui dalle storie di Plutarco,
Livio e altri autori.
Plutarco, descrivendo l'assedio di Siracusa
da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica, ci dice che
Archimede abbia inventato ingegnose macchine da guerra per tenere lontano il nemico:
catapulte per lanciare pietre, corde, carrucole e ganci per sollevare e schiantare le navi
romane, dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come questi dispositivi potessero essere
realizzati e se realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli, ci è spiegato da
Archimede e gli specchi ustori).
Durante il saccheggio della città, Archimede venne trucidato da un soldato romano,
nonostante che il generale Marcello avesse dato l'ordine di salvare la vita del matematico.
Poiché, a quanto viene riferito, Archimede aveva settantacinque anni, è molto probabile che
fosse nato nel 287 a.C.
Alcuni autori riportano che abbia visitato l'Egitto e che abbia studiato ad Alessandria con gli
allievi di Euclide: fu probabilmente in questa occasione che inventò il dispositivo, oggi noto
come "vite di Archimede", fatto di canali o tubi avvolti elicoidalmente attorno ad un asse
inclinato, munito di una manovella per farlo girare.
I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono d'accordo nel dipingerlo come persona
che attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attività
intellettuale. Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici, era molto più
interessato ai principi generali che le governavano che alle loro applicazioni pratiche.
Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti:
•
Sull'equilibrio dei piani
Di questo trattato, in due libri, fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva.
Il primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui
centri di gravità del triangolo e del trapezio. Il secondo libro concentra l'attenzione sul centro
di gravità di un segmento di parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo
centro si trova sul diametro del segmento e divide questo diametro in segmenti che stanno
nel rapporto di 3 a 2. Il procedimento usato per la dimostrazione è il metodo di esaustione.
•
Sui galleggianti
Quest'opera, in due libri, contiene dei risultati molto importanti. Fra le proposizioni iniziali ve
ne sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede.
Qualsiasi solido più leggero di un fluido, se collocato nel fluido, si immergerà in misura
tale che il peso del solido sarà uguale al peso del fluido spostato (Lib. I, Prop. 5).
Un solido più pesante di un fluido, se collocato in esso, discenderà in fondo al fluido e se
si peserà il solido nel fluido, risulterà più leggero del suo vero peso, e la differenza di
peso sarà uguale al peso del fluido spostato (Lib. I, Prop. 7).
Oltre alle proprietà dei fluidi, questo trattato contiene molte altre scoperte. Quasi tutto il
secondo libro, per esempio, tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi
quando siano immersi in un fluido, mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso
specifico relativo del paraboloide solido e del fluido in cui galleggia.
•
Sulla misura del cerchio
Questo piccolo trattato, che è probabilmente incompleto nella forma in cui ci è pervenuto,
comprende solo tre proposizioni, una delle quali è la dimostrazione, mediante il metodo di
esaustione, del teorema secondo cui l'area del cerchio è uguale a quella di un triangolo
rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del cerchio stesso.
Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro,
Archimede diede una ulteriore prova della sua abilità nel calcolo. Partendo dall'esagono
regolare inscritto, egli calcolò i perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente
il numero dei lati fino a raggiungere novantasei lati.
Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da
un'approssimazione del valore di
espressa dalla disuguaglianza ,
che era un valore migliore di quello ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi.
Va tenuto presente che né Archimede né alcun matematico greco fece mai uso della
notazione
per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il suo diametro.
•
Sulle spirali
Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto, poiché veniva considerato come la
più difficile fra tutte le opere di Archimede.
La spirale viene definita come il luogo piano di un punto
che, partendo dall'estremo di un raggio o semiretta, si
sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il
raggio a sua volta ruota uniformemente intorno al suo
estremo.
Lo studio che Archimede fece della spirale, curva che
attribuiva all'amico Conone di Alessandria, si inquadrava
nella scia delle ricerche, tipiche della matematica greca,
volte a trovare le soluzioni dei tre famosi problemi classici.
La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni
dell'angolo.
Come nel caso della quadratrice, però, essa può anche servire a quadrare il cerchio, come
mostrò lo stesso Archimede.
Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR, e questa tangente intersechi nel punto Q
la retta che passa per O ed è perpendicolare a OP (vedi la soprastante figura).
Archimede mostrava, mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum, che
il segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in
lunghezza all'arco di cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP.
Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a
90° in coordinate polari, la sottotangente polare OQ sarà esattamente uguale a un
quarto della circonferenza del cerchio di raggio OP.
Pertanto l'intera circonferenza può
essere costruita prendendo quattro
volte il segmento OQ, e per mezzo
del teorema di Archimede si trova
un triangolo di area uguale all'area
del cerchio. Una semplice
trasformazione geometrica permetterà
poi di sostituire il triangolo con un
quadrato. E' così effettuata la
quadratura del cerchio.
Gran parte dell'opera di Archimede è
di natura tale che oggi verrebbe inclusa
in un corso di analisi infinitesimale; ciò è particolarmente vero per il trattato Sulle spirali.
Si può analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate Tramite
l'immagine interattiva a lato,con la quale si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le
variazioni desiderate
•
Quadratura della parabola
Al tempo in cui scriveva Archimede, le sezioni coniche erano note da quasi un secolo, e
tuttavia non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree. Ci volle Archimede
per quadrare una sezione conica, ossia un segmento della parabola e lo fece nella
Proposizione 17 dell'opera in cui la quadratura costituiva l'obiettivo principale.
La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione è lunga e
complessa: comunque Archimede riuscì a dimostrare rigorosamente
che l'area K di un segmento parabolico APBQC è uguale a quattro
terzi dell'area di un triangolo avente la stessa base e uguale altezza
(vedi la figura alla tua sinistra).
Nelle successive sette (e ultime) proposizioni, Archimede dava una
seconda, ma diversa, dimostrazione del medesimo teorema. Egli dimostrava che l'area del
triangolo inscritto maggiore, ABC, con base AC, è quattro volte la somma dei corrispondenti
triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC.
Continuando il processo suggerito da questa relazione, risulta chiaro che l'area H del
segmento parabolico ABC è data dalla somma della serie infinita
, che è . Archimede non parla di
somma della serie infinita, perché ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati.
Ricorrendo invece a una duplice reductio ad absurdum, Archimede dimostrava che
H non poteva essere né maggiore né minore di (Archimede, come i suoi
predecessori, non usava il termine "parabola", ma l'espressione "ortotomo", ossia
"sezione di un cono retto".)
Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo l'assunzione che oggi è
comunemente noto come l'assioma di Archimede:
L'eccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore può, se
sommato a se stesso, diventare superiore a qualsiasi area finita data.
•
Sui conoidi e sferoidi
Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare l'area di un segmento,qualsiasi di
ellisse o di iperbole, in questo trattato riuscì a determinare l'area di tutta l'ellisse:
Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi
Ciò equivale a dire che l'area di un'ellisse è uguale all'area di un cerchio il cui raggio
sia la media geometrica dei semiassi dell'ellisse.
Inoltre, mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un ellissoide, da un
paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno all'asse principale.
Il processo da lui usato è molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di
integrazione, differisce principalmente per la mancanza del concetto di limite di una
funzione.
•
Sulla sfera ed il cilindro
Archimede volle che sulla sua tomba fosse
incisa la figura che rappresentava una sfera
inscritta in un cilindro circolare retto la cui
altezza è uguale al diametro della sfera: egli
aveva, infatti, scoperto e dimostrato che il
rapporto tra i volumi del cilindro e della sfera
era uguale al rapporto tra le rispettive aree,
cioè era un rapporto di tre a due.
Inoltre sembra che Archimede sia stato il primo
a scoprire e a dimostrare che l'area di una sfera
è quattro volte l'area del suo cerchio massimo
e che
la superficie di una qualsiasi calotta
sferica è uguale al cerchio il cui raggio sia
uguale al segmento tracciato dal vertice
della calotta alla circonferenza del cerchio
di base della calotta stessa.
Un teorema molto
importante relativo
alla superficie della
sfera compare, dopo
una lunga serie di
teoremi preliminari
riguardanti la
funzione seno:
Se in un segmento di cerchio L'AL' viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati,
esclusa la base, siano uguali e il loro numero sia pari, come LK...A...K'L', ove A è il punto
di mezzo del segmento; e se si tracciano le linee BB', CC', ... parallele alla base LL' e
congiungenti coppie di punti angolari, allora
ove M è il punto di mezzo di
è il diametro passante per M
(si veda la figura soprastante alla tua destra).
La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34
del Libro I:
Qualsiasi sfera è uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio
massimo della sfera e l'altezza uguale al raggio della sfera.
Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario
ne segue il rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro
circoscritto.
•
L'Arenario
In quest'opera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri
superiori a nella notazione moderna. Egli
sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i granelli di
sabbia richiesti per riempire l'universo. Ciò era in risposta all'ipotesi avanzata da
Aristarco di S'amo che la Terra si muovesse attorno al Sole
•
Il libro dei lemmi
La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica
superiore. Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari. In
quest'opera, per esempio, troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del
calzolaio). Questo è la regione delimitata da tre semicerchi che sono reciprocamente
tangenti a due a due: l'area in questione è quella che si trova all'interno del
semicerchio più grande e all'esterno dei semicerchi più piccoli. Vi è anche un
teorema su quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione
archimedea dell'angolo.
Il libro dei lemmi non ci è pervenuto nel testo originale greco, ma attraverso una
traduzione araba che più tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum.
Di fatto quest'opera, come ci è pervenuta, non può essere genuinamente
archimedea, perché il nome di Archimede viene citato più volte nel corso del testo.
Nondimeno, anche se questo trattato non è altro che una miscellanea di teoremi
attribuiti ad Archimede dagli arabi, l'opera, nella sua sostanza, è probabilmente
autentica.
•
Il Metodo
Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di
Archimede vi è la scoperta, fatta nel nostro secolo, di uno dei suoi trattati più
importanti, intitolato Il Metodo, di cui si erano perdute le tracce fin dai primi secoli
dell'Era cristiana, finché non venne riscoperto nel 1906.
Qui, Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini "meccaniche"
preliminari che lo avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali
scoperte matematiche.
Così come ci è pervenuto, contiene la maggior parte del testo di una quindicina di
proposizioni inviate sotto forma di lettera a Eratostene, matematico e bibliotecario
del Museo di Alessandria. L'autore iniziava dicendo che è più facile trovare la
dimostrazione di un teorema se si ha già qualche conoscenza di ciò che esso
comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva
la strada ad alcune delle sue dimostrazioni.
Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute: Pappo riferisce di
un lavoro sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve; Teone
menziona un trattato sugli specchi; lo stesso Archimede riferisce nel'Arenario di un
lavoro sul sistema numerico.
Diversamente dagli Elementi di Euclide, i trattati di Archimede sono pervenuti fino a
noi tramite una tradizione manoscritta molto esile: quasi tutte le copie derivano da
un unico originale greco che era ancora esistente all'inizio del XVI secolo e che era
stato a sua volta copiato da un originale più antico risalente al IX o X secolo circa.
Questa poca fortuna è dovuta probabilmente al fatto che le opere di Archimede non
avevano un carattere didattico.
I risultati di Archimede, comunque, sono davvero notevoli. Egli è considerato da
molti storici della matematica come uno dei più grandi matematici di tutti i tempi: era
in grado di usare il metodo di esaustione, che era una prima forma di integrazione,
per ottenere una grande quantità di risultati; aveva dato un'accurata
approssimazione di
; aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri; in
meccanica è considerato il fondatore della statica e dell'idrostatica.
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