Ci sono adolescenze che si innescano a novanta anni.

LIMITE INFINITO

… studiare, studiare ed ancora studiare, è il solo modo di capire quanto possa essere grande la propria ignoranza!

Definizione Si scrive se, per ogni intorno (e. ) del limite , esiste un intorno di c tale che, per ogni si ha anche Nella forma compatta, se :

Stesse considerazioni di prima sulle differenze tra la prima definizione e la forma compatta: può essere qualunque, perchè ha il significato di estremo dell’intorno di , mentre δ torna ad avere il significato di raggio di un intorno e quindi torna ad essere positivo. Nella forma compatta, per semplicità nelle verifiche, è meglio dire . Le due forme sono infatti equivalenti. Ed ecco la definizione compatta nel caso del limite da destra e da sinistra. se :

(che è rappresentato nella figura alla tua destra) ed anche se : Poi abbiamo il caso del limite Definizione. Si scrive

se per ogni intorno del limite esiste un intorno di c tale che, per ogni si ha che . Nella forma compatta se : Osservazione Si noti che qui, nella forma compatta, ho riportato e ho cambiato la disuguaglianza sulle in ( ricordati l’analogia di tutto questo con quanto fatto nel caso di limite finito all’infinito). Osservazione La solita nota operativa: per una verifica di limite nel caso di limite infinito al finito, ad esempio con limite , basta provare che per ogni l’insieme delle soluzioni della disuguaglianza , con , contiene un intorno del punto c (c come sempre escluso). Ovviamente, nel caso di limite , la disequazione da cui partire sarà

Limite infinito all' infinito Si parla di limite infinito all’infinito quando la variabile tende a e il limite è . . Dei quattro casi, vediamone però uno solo. Dei quattro casi possibili ne vediamo solo uno, lasciando al lettore il compito di scrivere la definizione di limite negli altri casi. Definizione Si scrive se per ogni intorno del limite , esiste un intorno di , tale che per si ha anche Osservazione Qui nè ε nè δ hanno restrizioni di segno, dato che sono entrambi estremi di un intorno illimitato. Nella forma compatta, come fatto prima, possiamo però chiedere che siano entrambi positivi e scrivere : In una verifica concreta basterà provare che, fissato un qualunque , l’insieme delle soluzioni della disequazione contiene un intorno di .

Limite infinito al finito Si parla di limite infinito al finito quando la variabile tende ad un numero reale e il limite è +∞ o -∞. Anche qui c’è ovviamente la possibilità di un limite solo da destra o solo da sinistra. Ecco la definizione nel caso del limite bilatero.

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