Qualità significa fare le cose bene quando nessuno ti sta guardando.
LIMITE SINISTRO E BILATERO
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Limite per x 6b- (limite sinistro)
Consideriamo sempre ,
con intervallo limitato di
Definizione : Si scrive con
se per ogni intorno del
limite l, esiste un intorno sinistro ,
tale che per ogni si ha che
Osservazione : Anche in questo caso non si chiede nulla su .
Analogamente a quanto fatto prima, la cosa si può esprimere scrivendo che
:
Osservazione (di carattere operativo) : Per provare che è vera una certa scrittura di
limite da sinistra basta provare che per ogni ε > 0 l'insieme delle soluzioni di
disequazione contiene un insieme del tipo per qualche
,
cioè un intorno sinistro di .
Limite per x 6c (limite bilatero)
Sia un intervallo e sia . Sia poi f : (a, b) \ {c} 6 . Tengo a ricordarti che
la scrittura indica l’intervallo privato del punto c. Quindi si considera
una funzione che è definita in , e cioè può non essere definita nel punto c..
Definizione : Si scrive
se,
per ogni intorno del limite l, esiste un
intorno di c tale che per ogni
Osservazione : Si osservi che qui, analogamente a quanto
fatto prima con i limiti da destra e da sinistra, non si chiede
nulla su , e quindi si considera l’intorno
privato del punto c. La definizione in questo caso si può dare
in forma compatta scrivendo che
Di solito il limite bilatero si chiama semplicemente limite. Quindi, dicendo limite, si allude al
limite bilatero.
Osservazione Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che è
vera una certa scrittura di limite bilatero basta provare che per ogni
l’insieme
delle soluzioni della disequazione contiene un insieme del tipo
per qualche
, cioè un intorno di c (con c escluso).
Osservazione Per provare invece la falsità di una certa scrittura di limite basta
trovare un particolare valore di ε per cui la condizione della definizione risulta falsa.
La seguente scrittura è vera :
Infatti, fissato un qualunque intorno del limite 0, osserviamo che il valore della
funzione appartiene a tale intorno se e solo se , cioè se e solo se
. Le soluzioni costituiscono proprio un intorno del punto 1, l’intorno
.
Esempio Proviamo ora con la definizione che invece non è vera la scrittura
Fissato un intorno del limite 1, consideriamo la disuguaglianza ,
cioè . Le soluzioni della disequazione sono date dall’intervallo .
Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di 1:
ad esempio, per , esso è fatto di punti esterni ad un intorno di 1. La scrittura di
limite quindi è falsa.
Esempio Proviamo che
Fissato un qualunque
che definisce un intorno del limite 1, consideriamo
la disuguaglianza , che equivale a , che equivale a sua volta
a . Si tratta di un intervallo che contiene certamente un intorno di e, dato
che
, mentre .
Esempio Proviamo che
Fissato un qualunque intorno del limite 0, il valore della funzione
appartiene a tale intorno se e solo se , cio`e se e solo se . Se
(ricordare che il limite `e per
), questa equivale a .
Ora, se
(e quindi
), si ottiene , che è un numero negativo.
Pertanto tutte le x positive soddisfano la disequazione ed è determinato un intorno
destro di 0.
Se invece (e quindi ), si ottiene , che è un numero
positivo. Pertanto soddisfano la disequazione tutte le x dell’intervallo , che
è ancora un intorno destro di 0.
Se infine
la disuguaglianza diventa , cioè
, insieme che contiene
un intorno destro di 0.
Osservazione Ribadisco che, dicendo “limite”, senza precisare se limite destro o
limite sinistro, si intende limite da destra e da sinistra.
Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma è abbastanza facile intuirlo, che il limite
esiste se e solo se esistono e sono uguali il limite destro e il limite sinistro. Può
essere comodo talvolta calcolare il limite calcolando separatamente il limite destro e
il limite sinistro.
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