L'adulto non crede a Babbo Natale. Ma lo vota.
DEFINIZIONE DI LIMITE
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Il concetto di limite è fondamentale. Importanti concetti matematici
che seguono sono definiti attraverso il concetto di limite. Qui vediamo
anzitutto una definizione rigorosa di tale concetto, rinunciando ad
una definizione generale, vista la destinazione di queste pagine,
peraltro non molto più difficile, per presentare varie definizioni per i
vari casi possibili, ritenendo che questo approccio faciliti il lettore,
permettendogli di fissare l’attenzione su situazioni di volta in volta
specifiche.
Definizione di Limite
Prima di entrare nelle definizioni rigorose, cerchiamo di capire il
significato concreto di quello che vogliamo definire.
Se abbiamo una funzione, può succedere che non possiamo calcolare
Supponiamo ad esempio che la funzione f sia definita in un intervallo e che non sia
definita in un punto, che chiameremo c, di tale intervallo. Quindi non possiamo
calcolare f(c).
Però possiamo chiederci: se la variabile x della nostra funzione si avvicina
“infinitamente” al punto c (e questo lo può fare perché f è definita attorno a c), a
quale valore, se c’è, si avvicina il valore di f(x)?
Questo valore è appunto il limite per x che tende a c della funzione f. Ecco la
definizione rigorosa, nei diversi casi che si possono presentare. Considererò solo
funzioni definite su intervalli, che potranno essere limitati od illimitati.
il valore che essa assume in corrispondenza di tutti i numeri reali, per il semplice fatto che,
come abbiamo visto, ci sono funzioni che non sono definite in tutto .
Limite di infinito al finito
Si parla di limite finito al finito quando il valore a cui tende la variabile x è un numero
reale ed il limite è pure un numero reale (non abbiamo quindi a che fare con infiniti).
Limite per x 6 a+ (limite destro)
Sia , con intervallo limitato di .
Definizione :
Si scrive
se, per ogni intorno
del limite , esiste un intorno destro
di a tale che per ogni
si ha anche
Qui occorre qualche commento, trattandosi di una delle
definizioni più difficili dell'argomento.
Osservazione :
Vediamo che nella scrittura
la parentesi su a è tonda:
significa che la definizione non
chiede nulla circa il valore
, che potrebbe anche non
esistere, dato che si parla di
funzione definita in .
Se la funzione è definita
anche in
, la definizione
comunque non chiede nulla
su .
La definizione quindi chiede
che, qualunque sia , ci
sia un intorno destro da a
per cui i valori degli x che stanno in questo intorno, eccentuato il punto a, abbiamo
un corrispondente che appartiene all'intorno di raggio
del limite.
Vuol dire in pratica che possiamo ottenere valori della funzione arbitrariamente vicini al limite
purchè scegliamo valori x sufficientemente vicini (a destra) al punto a.
Osservazione :
Sulle notazioni utilizzabili: la condizione si può anche esprimere scrivendo
, e la condizione si può indifferentemente esprimere
scrivendo oppure .
Quindi la definizione si può anche formulare più sinteticamente scrivendo che
oppure
Osservazione :
Nota di carattere “operativo”: se dobbiamo provare che è vera una certa scrittura di
limite basta provare che per ogni
l’insieme delle soluzioni della disequazione
contiene un insieme del tipo per qualche
, cioè contiene
un intorno destro di a (a escluso).
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