Le delusioni dell'età matura seguono le illusioni della gioventù.
I LIMITI
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
BREVE STORIA DEI LIMITI
Spesso si considera come data di nascita del concetto di limite il
1821, perché in quell'anno L.A. Cauchy pubblica il suo Cours
d'analyse, cioè l'opera che raccoglie le
sue lezioni di analisi tenute presso l'École
Polytechnique di Parigi. Qui Cauchy
dà una definizione di limite in questi
termini:
"Allorché i valori successivamente
assunti da una stessa variabile si
avvicinano indefinitamente a un
valore fissato, sì da differirne alle
fine tanto poco quanto si vorrà,
quest'ultima quantità è chiamata il
limite di tutte le altre".
Definisce poi sia la nozione di infinitesimo, una "variabile che ha zero come limite",
sia quella di infinito, una variabile i cui successivi valori numerici "crescono sempre
più, in modo da superare ogni numero dato".
Tratta anche del limite di successioni, in particolare per la successione delle somme
parziali delle serie.
Tratta anche del limite di successioni, in particolare per la
successione delle somme parziali delle serie.La formulazione che ggi
usiamo per il limite di una funzione, è successiva ed è dovuta
principalmente a Karl Weirstrass (1815-1897). A Cauchy va il
merito di aver dato una rigorosa sistemazione ad un concetto che
già da molto tempo era trattato dai matematici.
Facendo un percorso a ritroso, possiamo osservare che già attorno
alla metà del XVIII secolo, la voce limite appare nell'Encyclopedy
di Diderot e d'Alembert. D'Alembert, che compila la voce
assieme all'Abbé de la Cappelle, sostiene la necessità di porre la
teoria del limite alla base del calcolo differenziale, calcolo che era
stato scoperto da Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo, basato
sull'uso degli infinitesimi.
Le cosiddette “prime e ultime ragioni” della Philosophiae naturalis Principia
mathematica (1687) di Newton non sono altro che un modo un po' contorto per
esprimere che due rapporti tendono allo stesso limite. Il bolognese Pietro Mengoli
nella sua Geometriae speciosae elementa (1659) aveva dedicato un capitolo alla
teoria dei limiti, fornendo diverse proprietà e teoremi e mostrando di avere un'idea
ben chiara di grandezza che tende all'infinito (quasi infinita), che tende a zero (quasi
nulla) o di due grandezze che tendono allo stesso limite (quasi aequales).
Ma già i greci calcolavano dei limiti di successioni, mediante il procedimento oggi
detto metodo di esaustione.
Il metodo d'esaustione, ideato da Eudosso di Cnido (c.a. 408-355 a.C.), è un
procedimento per confrontare due grandezze omogenee (aree, volumi), non
equiscomponibili rispettivamente in un numero finito di triangoli o parallelepipedi,
attraverso il confronto per equiscomponibilità di grandezze omogenee incluse nella
data o includenti la data e a questa approssimantesi.
Col metodo d'esaustione Eudosso mostrò che una piramide è la terza parte del
prisma avente la stessa base e stessa altezza, come pure un cono rispetto al
cilindro con stessa base e stessa altezza.
Ne fece uso anche Euclide, mediante il quale dimostrò che il rapporto tra l'area del
cerchio e quadrato del diametro è costante, come pure tra volume della sfera e cubo
del diametro. Il più geniale maestro nell'uso del metodo di esaustione fu Archimede,
mediante il quale ottenne quelle che oggi noi diciamo le formule per trovare l'area
del cerchio, la superficie o il volume di una sfera e altri risultati ancora.
Per esempio, Archimede approssimò il cerchio con poligoni regolari inscritti e
circoscritti a partire dal quadrato e raddoppiando via via il numero dei lati e
sostanzialmente provò che le aree di tali poligoni tendono (quelli circoscritti per
eccesso e quelli inscritti per difetto) a una stessa grandezza, che è l'area del
cerchio.
Sempre col metodo d'esaustione e approssimando l'area di un segmento di
parabola con quella di poligoni ottenuti dall'unione di successivi e opportuni triangoli,
mostrò che l'area del segmento di parabola è i 4/3 di quella del triangolo inscritto in
tale segmento.
Possiamo quindi dire che le prime applicazioni del procedimento infinito di limite
sono state per calcolare aree e volumi.
Ma il limite è anche l'unico strumento con cui poter, per così dire, “maneggiare con
sicurezza” tanto gli infinitesimi che gli infiniti.
Oggi è il fondamento di tutto il calcolo differenziale e integrale, le cui applicazioni
sono numerosissime, non solo in matematica e fisica, ma in tutte le scienze.
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