Se la gioventù è il fiore più bello, la vecchiaia è il frutto più delizioso.
Ulteriori definizioni di Logaritmo
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Per semplicità di calcolo, per dimostrare la prima delle proprietà
elencate ci limitiamo al caso di due soli fattori; dimostriamo cioè che:
a tal scopo poniamo
Per la definizione di logaritmo varranno allora anche le due
uguaglianze e
che, moltiplicate membro a membro, danno:
e quindi
Dall'ultima uguaglianza scritta si deduce che l'esponente da dare
ad a per ottenere è , il che equivale a dire (per la
definizione di logaritmo) che:
e quindi, ricordando le posizioni fatte, che:
Prima di passare ad esemplificare le proprietà dei logaritmi osserviamo che valgono
ovviamente anche le proprietà inverse (ad esempio: la somma di due logaritmi in
una stessa base è uguale...).
ESEMPI
1.
2.
3.
4.
5.
I LOGARITMI DECIMALI. CENNO AI LOGARITMI NATURALI
L'insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali positivi in una data base a viene
chiamato sistema di logaritmi in base a. Tra tutti gli infiniti sistemi di logaritmi
assumono grande importanza quello in base 10, che viene comunemente chiamato
dei logaritmi decimali o di Briggs, e quello in base e (con la lettera e viene indicato
un particolare numero irrazionale che ricorre assai spesso nelle matematiche
superiori e nello studio teorico di molti fenomeni fisici, statistici, ecc., e del quale
riportiamo un valore approssimato: e = 2,718281828... , che viene comunemente
detto dei logaritmi naturali o neperiani.
L'importanza del primo di questi sistemi di logaritmi è ovviamente legata al fatto che,
essendo il nostro sistema di rappresentazione numerica di tipo decimale, sono assai
più facili la compilazione, e soprattutto l'uso, di tavole numeriche che permettono di
calcolare rapidamente logaritmo decimale di qualsiasi numero. L'importanza del
secondo di questi sistemi è dovuta al fatto che in molte leggi naturali, fisiche,
statistiche, ecc., le grandezze in gioco sono tra loro legate da funzioni di tipo
esponenziale a base e o di tipo logaritmico a base e (funzioni che, tra l'altro, godono
di notevoli proprietà matematiche). Le tavole logaritmiche che forniscono i logaritmi
in base dieci sono comunque utilizzabili anche per il calcolo di logaritmi in base e
(come del resto di logaritmi in qualsiasi base); infatti, per la proprietà relativa al
cambiamento di base, il logaritmo in base e di un qualsiasi numero x positivo è:
e quindi, una volta noto il valore del modulo di trasformazione 1/log10 e (che vale
circa 2,3026), è numericamente noto tutto il sistema di logaritmi in base e. Per
quanto poi riguarda le calcolatrici tascabili osserviamo che tra queste quelle atte al
calcolo di logaritmi sono in genere in grado di fornire direttamente sia i logaritmi
decimali che quelli naturali.
Per semplicità di scrittura, d'ora in poi indicheremo il logaritmo decimale con il
simbolo log, tralasciando l'indicazione della base; indicheremo invece il logaritmo
naturale con il simbolo ln, tralasciando anche in questo caso l'indicazione della base.
Avremo così:
e
Le equazioni logaritmiche
Un'equazione nella quale compare il logaritmo dell'incognita, o di espressioni
contenenti l'incognita, viene detta equazione logaritmica. In genere, per risolvere
un'equazione logaritmica si cerca di portarla, applicando le proprietà dei logaritmi,
nella forma
dove A(x) e B(x) sono due espressioni contenenti l'incognita x, che vengono
denominate argomenti dei logaritmi.
Affinchè siano uguali i due membri della (a) è necessario che siano uguali le due
espressioni A(x) e B(x); è possibile quindi passare dalla (a) all'equazione
Si tenga però presente che l'equazione data, la (a) (alla quale si giunge mediante
l'applicazione delle proprietà dei logaritmi) e la (b) non sono, in generale, equivalenti
tra loro. Infatti, mentre le soluzioni della (a) sono certamente tutte soluzioni anche
dalla (b), non è vero il viceversa: la (b) potrebbe avere delle soluzioni che rendono
uguali, ma negative, le due espressioni A(x) e B(x), e che pertanto non possono
essere soluzioni anche dalla (a). Per esempio, le equazioni:
(che si ottiene dalla prima passando dall'uguaglianza tra i due logaritmi a quella tra gli
argomenti), non sono equivalenti; infatti, mentre x = 3 è soluzione della seconda, non lo è
della prima, poichè rende uguali, ma negative, le due espressioni 2 - x ed x - 4.
Analogamente, la (a) potrebbe avere soluzioni che rendono uguali e positive le due
espressioni A(x) e B(x), ma che non rendono positive tutte le espressioni che compaiono
sotto segno di logaritmo nell'equazione data. Così, per esempio, le equazioni:
(che si ottiene dalla prima applicando nel suo membro di sinistra una proprietà dei
logaritmi), non sono equivalenti; infatti, mentre x = - 2 è soluzione della seconda
perchè rende uguali e positive le due espressioni x2+x e 4+x, non può essere
soluzione anche della prima, poichè rende negative le espressioni x + 1 e x che
compaiono sotto segno di logaritmo nel membro di sinistra.
Concludiamo quindi che, per risolvere un'equazione logaritmica si cerca, in genere,
di portarla prima nella forma (a) e poi nella forma (b); quindi, risolta quest'ultima, si
sostituiscono le soluzioni trovate all'incognita nell'equazione data per vedere se tutti
gli argomenti dei logaritmi assumono valori positivi; solo se tale condizione è
verificata le soluzioni della (b) saranno soluzioni anche dell'equazione proposta.
Invece di eseguire questa verifica è possibile stabilire fin dall'inizio, mediante la
risoluzione di opportune disequazioni, a quali condizioni devono soddisfare le
soluzioni dell'equazione proposta affinchè possano essere accettabili.
e
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