Per riacquistare la giovinezza basta solo ripeterne le follie.
Definizione di Logaritmo
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Da un punto di vista didattico il logaritmo può essere presentato in
due modi differenti:
Dopo avere dimostrato, o comunque enunciato, il seguente teorema:
Teorema: Se a è positivo e diverso da 1 e b è positivo, esiste ed
è unica la soluzione dell’equazione:
.
Si definisce il logaritmo come soluzione dell’equazione precedente
che viene indicata con l’espressione :
che si legge : Logaritmo di b in base a.
In alternativa, si definisce il logaritmo come inversa della funzione esponenziale.
Infatti, a partire dalla funzione esponenziale si fa’ osservare che essa e’
invertibile: decrescente se ; crescente se
.
E quindi si può considerare la funzione inversa: dato un valore y, x dovra’ essere
l’esponente da dare alla base per ottenere y.
In entrambi i casi si giunge alla seguente definizione:
Si dice logaritmo in base a di un numero b l’esponente c
che si deve dare ad a per avere b: dove a
e` detta base del logaritmo e b argomento.
a) per a=10 si ha il sistema dei logaritmi decimali (volgari o di Briggs);
b) per a=e ≈ 2,71828 si ha il sistema dei logaritmi naturali o neperiani
I logaritmi godono di alcune proprietà. Enunciamole.
1.
Il logaritmo di un prodotto di fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori ; cioè:
2.
Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il
logaritmo del dividendo ed il logaritmo del divisore:
3.
Il logaritmo della potenza di un numero positivo, ad esponente reale qualunque, è
uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base della potenza :
4.
lIl logaritmo in base a di un numero b diverso da 1, è uguale al reciproco del
logaritmo in base b del numero a :
5.
Il logaritmo in base a di un numero N è uguale al prodotto tra il logaritmo dello stesso
numero N in un'altra base b ed il reciproco del logaritmo di a in base b :
oppure
6.
7.
8.
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