Tu sei giovane solo una volta, ma puoi essereimmaturo per sempre.
Radici ed equazioni algebriche
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
È interessante notare che, nel campo dei complessi, il numero di
radici (dall'esempio almeno fino a n=3) sembra essere uguale
all'indice della radice stessa. Cioè, data la n√x , avremmo per
n = 2 due radici, per n = 3 tre radici.
Se così fosse e se questa congettura fosse vera per ogni n,
la situazione sarebbe più soddisfacente rispetto a quanto accade
in campo reale, in cui n√x non ha soluzioni se n è pari e x < 0,
oppure ha 1 soluzione se n è dispari e due se n è pari e x >0.
D'altra parte l'estrazione di radice di indice n è in qualche modo
correlata all'esistenza di soluzioni (che non a caso chiamiamo
radici) di equazioni algebriche di grado n, come
I coefficienti e la variabile x sono, nel caso più generale, numeri complessi.
Ad esempio, , equivale a risolvere l'equazione di secondo grado
,
da cui si ottengono le due soluzioni reali .
L'estrazione della radice cubica di
, , significa risolvere l'equazione di
terzo grado
, con l'unica soluzione reale
.
L'estrazione della radice quarta, equivale a risolvere l'equazione di quarto
grado
.
Quest'ultima è un'equazione bi-quadratica che può essere risolta con la nota tecnica
della sostituzione di variabile:
se poniamo
l'equazione diviene:
, che, come prima, dà le soluzioni
reali:
.
L'equazione di quarto grado equivale allora alle due equazioni di secondo grado :
la prima delle quali ha le due soluzioni reali
.
La seconda equazione invece non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.
La chiusura algebrica, ovvero quanti tipi di numeri ci vogliono?
Il fatto che esistano equazioni non risolubili , o operazioni non eseguibili all'interno di
una certa struttura algebrica (si direbbe in linguaggio tecnico che la struttura non è
algebricamente chiusa) costituisce una forte motivazione per l'introduzione di nuovi
tipi di numeri. Il campo dei reali non è chiuso per l'estrazione di radice quadrata
perchè questa operazione non è eseguibile per numeri reali negativi. Il campo
complesso è invece chiuso per questa operazione.
Nuovi tipi di numero sono stati introdotti nel tempo per risolvere problemi di chiusura
algebrica:
i numeri interi relativi (Z) risolvono il problema di sottrazioni tipo 3− 5, impossibile
all'interno dei numeri interi naturali (N);
i razionali (Q) permettono la divisione tra interi non divisibili, es. 3 : 5;
con i reali (R) si affrontano questioni più delicate quali l'esistenza di numeri
irrazionali (come
) e di numeri trascendenti come e, numero di nepero, o
, pi
greco, rapporto tra circonferenza e raggio;
i numeri complessi (C) sono la chiusura algebrica dei numeri reali. Un teorema la cui
dimostrazione esula dallo scopo di questa lezione, dettoteorema fondamentale
dell'Algebra, assicura che tutte le operazioni e tutte le equazioni algebriche sono
risolubili in campo complesso e quindi non è e non sarà più necessario ricorrere a
nuovi tipi di numeri.
Radice n-sima di un numero complesso
Cerchiamo ora di dimostrare che è possibile estrarre la radice di indice n intero di un
numero complesso con n qualsiasi e che il numero di queste radici coincide con
l'indice n.
Per questo è utile ricorrere alla rappresentazione trigonometrica dei numeri
complessi.
In un precedente paragrafo, abbiamo dimostrato la validità dell'importante
formula di De Moivre:
grazie ad essa è possibile esprimere la potenza
intera di un numero
complesso come:
in cui z è il modulo del numero complesso ed è sempre
positivo.
Immaginiamo ora di calcolare la radice
di e che questa
radice sia z:
allora
e cioè:
perchè questa uguaglianza sia verificata è necessario che: e che
e .
Tuttavia sappiamo che le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche
con periodo
per cui dovremo avere:
Da questa equazione ricaviamo:
Se
, avremo valori di
che si ripetono, e qundi radici non distinte.
Se, ad esempio, diamo a k il valore n, abbiamo e quindi
che è ancora uguale a . Allora per avere radici distinte il valore massimo di k
sarà n −1, dato che per k = n avrei una radice già trovata con k = 0.
Se considero i valori negativi, ad esempio k= −1, avrò , che però è
uguale a , valore che ottengo anche con
.
Proseguendo si può facilmente verificare che il valore di " per k = −2 si può ottenere
anche per k = n −2. Quindi possiamo limitarci ai valori positivi di k.
Ogni numero complesso possiede allora n radici distinte, così espresse:
Le radici dell'unità
Come abbiamo visto, l'unità in campo complesso è il numero 1 = 1 + j 0, oppure la
coppia (1,0).
Se:
, allora z rappresenta le radici n-sime dell'unità
La formula precedente dà in questo caso ( ):
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