Dentro ogni persona anziana c'è una persona più giovane che si sta chiedendo cosa diavolo sia successo.
Radici di un numero complesso
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
L'operazione inversa dell'elevamento a potenza è l'estrazione di radice.
Il numero w è la radice n-sima di z se
, con n intero.
Radice quadrata di un numero complesso in forma algebrica
Se e dalle relazioni precedenti abbiamo:
Due numeri complessi sono uguali se sono
rispettivamente uguali la parte reale e la
parte immaginaria, dunque:
cioè
la soluzione del sistema dà:
È istruttivo calcolare la radice quadrata per alcuni
particolari numeri.
Per , sostituendo nella formula
precedente abbiamo la radice quadrata
come ci aspettiamo.
Proviamo ora con :
Fatto interessante : la radice quadrata del numero immaginario non è data da un numero immaginario puro
(ad esempio ) ma dal numero complesso :
La forma polare ci indica chiaramente che l'argomento è dimezzato rispetto a quello del radicando z:
La molteplicità delle radici, come ci aspettavamo è 2.
e
Esempio di radice di un numero complesso con n = 3
Supponiamo di voler trovare la radice cubica di 8.
Nel campo reale abbiamo un'unica soluzione:
.
Tuttavia ora sappiamo che un numero reale altro non è se non un numero
complesso con parte immaginaria nulla: .
Cosa succede se estraiamo la radice cubica di questo numero? Avremo ancora un'unica soluzione?
Seguendo la linea di ragionamento del paragrafo precedente, se il numero è
la radice cubica cercata allora
cioè:
Ora ricordando che e che
nel nostro caso particolare :
Dobbiamo allora eguagliare le parti reali e le parti immaginarie:
Dalla seconda equazione:
, raccogliendo b, si ha che risolta per b dà:
1) Per b= 0: e abbiamo quindi la soluzione
2) Per b = a√3:
che fornisce la soluzione
3) Per b = −a√3
che fornisce la soluzione
La radice ha allora tre soluzioni in campo complesso:
; ;
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