Io suono al Conservatorio. Sì, ma non mi aprono mai.
Forma polare dei numeri complessi
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Le considerazioni svolte
nelle pagine precedenti ci
consentono di individuare
un'altra modalità di
rappresentazione dei
numeri complessi: la
cosiddetta forma polare,
in cui viene messo in
evidenza il modulo e
l'argomento secondo la
notazione modulo p
argomento, in cui il primo
numero rappresenta il
modulo del vettore, il
secondo l'angolo con
l'asse reale (in gradi o
radianti : nella pratica
tecnica il grado è preferito),
separati dal, simbolo "p " con cui si indica che il numero che lo segue rappresenta appunto un angolo.
Passare dalla forma algebrica alla forma polare e viceversa
Se il numero complesso espresso in forma algebrica, ad esempio , , bisogna calcolare il modulo
e successivamente l'argomento.
Per questa operazione notiamo complesso, nel nostro caso
quindi ovvero 0,64 radianti.
In forma polare avremo: oppure
Quindi per passare dalla forma algebrica alla forma polare:
Riguardo all'argomento arctan(b/a) è opportuna una considerazione.
Come si vede nella figura, il codominio della funzione arctan(x) è
l'intervallo aperto
Non vi è alcun problema nel calcolo dell'angolo se il numero complesso
si trova nel primo o nel quarto quadrante.
Se il vettore si trova nel terzo quadrante il risultato di
sarà un valore negativo
(es. ), chiaramente non
all'angolo trovato :
corretto. In tal caso è necessario aggiungere
Analogamente, se ci troviamo nel 3° quadrante (es. ).
In questo caso aggiungeremo
se vogliamo l'angolo convesso (angolo positivo):
, oppure toglieremo se desideriamo la rappresentazione
con angolo concavo (angolo negativo) :
Se la parte reale è nulla , non è evidentemente possibile il calcolo
dell'angolo con , ma è chiaro che in questo caso l'argomento sarà , a seconda del segno
della parte immaginaria.
Riassumendo:
se , la sua forma polare è:
il complesso coniugato , in forma polare è:
, è la determinazione principale di Arg(z).
Spesso, soprattutto nell'uso tecnico, " è espresso in gradi e allora −180° < " < +180°
Per la trasformazione inversa, da forma polare ad algebrica si usa la forma
trigonometrica:
Moltiplicazione e divisione in forma polare
Grazie alla forma trigonometrica abbiamo già messo in evidenza che il prodotto di due numeri complessi è un mumero
complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento, la somma degli argomenti.
Questo si traduce direttamente nella regola per il prodotto in forma polare:
Analoghe considerazioni per la divisione:
che è data da un numero che ha come modulo il quoziente dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.
Dal punto di vista dell'esecuzione dei calcoli è conveniente moltiplicare e dividere numeri in forma polare, ma somma
e sottrazione possono essere eseguiti solamente in forma algebrica.
Esempio.
Moltiplicare i numeri
Trasformiamo in forma polare:
quindi
Il prodotto :
il quoziente:
Trasformiamo i risultati in forma algebrica:
dove, per comodità, abbiamo commesso l'imprecisione formale di scrivere in gradi, anzichè in radianti come si
dovrebbe, gli argomenti di seno e coseno.
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