Diventare vecchi è obbligatorio - crescere è opzionale.
Forme trigonometriche e polari
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Forma trigonometrica e polare dei numeri complessi
Oltre alla forma algebrica a +ib di un numero complesso, sono
possibili altre due importanti forme rappresentative dei numeri
complessi: la forma trigonometrica e la forma polare.
Ricordiamo il significato di alcuni simboli:
è il modulo del numero complesso
ed anche del vettore che lo rappresenta nel piano di Gauss.
Il modulo rz coincide con il raggio della circonferenza su cui
muoviamo il punto z.Ora immaginiamo di proiettare il vettore z sull'asse reale.
Il vettore forma l'angolo " con l'asse reale, l'angolo " è detto argomento del numero
complesso z, si indica con Arg(z) e a volte è anche chiamato angolo di fase o
semplicemente fase.
La proiezione, grazie alle relazioni trigonometriche di un triangolo rettangolo è data
da .
Allo stesso modo proiettiamo z sull'asse immaginario. Questa proiezione è data da
. Ma e , quindi:
La forma trigonometrica del numero complesso z è allora:
La rappresentazione in forma trigonometrica dei numeri complessi non è univoca,
infatti, a causa della periodicità delle funzioni seno e coseno, si ha anche:
Se si vuole evitare questa ambiguità si può considerare , nel qual caso
prende il nome di determinazione principale di e talvolta si indica con .
Il complesso coniugato di z è:
Possiamo ora dimostrare quanto visto nel paragrafo precedente relativamente a
prodotto e divisione.
La forma trigonometrica per il numero w di modulo w e argomento β è:
w = rw·[cos(β) + jsin(β)]
Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica
Il prodotto si ottiene applicando le
definizioni viste precedentemente:
z·w = rz·rw·{ [cos(")cos(β) − sin(")sin(β)] + j·[sin(")cos(β) + cos(")sin(β)] }
se osserviamo le espressioni in parentesi quadre vediamo che
cos(")cos(β) − sin(")sin(β) = cos(" + β) e sin(")cos(β) + cos(")sin(β) = sin(" + β)
e quindi
z·w = rz · rw · [ cos(" + β) + j·sin(" + β)]
Concludiamo che il prodotto è un vettore che ha come modulo il prodotto dei moduli
e come argomento la somma degli argomenti
Divisione di numeri complessi in forma trigonometrica
Per ottenere il quoziente
z/w = (rz/rw)·[cos(") + jsin(")]·[cos(β) + jsin(β)
calcoliamo prima [cos(β) + jsin(β) reciproco di cos(β) + jsin(β).
Applichiamo le definizioni di reciproco date in precedenza:
[cos(β) + jsin(β) = cos(β) / (cos(β + sin(β ) − jsin(β) / (cos(β + sin(β )
ma ricordiamo che (cos(β + sin(β = 1 e allora: [cos(β) + jsin(β) = cos(β) −
jsin(β).
Quindi: z/w = (rz/rw)·[cos(") + jsin(")]·[cos(β) − jsin(β)]
Il quoziente dei due numeri complessi è dato allora da:
z/w = (rz/rw)·{ [cos(")cos(β) + sin(")sin(β)] + j·[sin(")cos(β) − cos(")sin(β)] }
Qui, tra parentesi quadre abbiamo le formule trigonometriche di sottrazione, per cui:
z/w = (rz/rw)· [cos(" − β) + j.sin(" − β)]
Il quoziente è un vettore che ha come modulo il quoziente dei moduli e come
argomento la differenza degli argomenti.
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