Il romantico si sottomette alla vita, il classico la domina.
Distribuzione del Potenziale nei Campi Elettrici Disuniformi
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Generalità
Quando un elettrone si sposta in un campo elettrico non
uniforme, la determinazione della sua traiettoria, problema
in genere assai complesso, è facilitato dalla conoscenza
dell'andamento del potenziale nello spazio interessato dal
campo elettrico.
Uno studio analitico della distribuzione del potenziale è
teoricamente possibile, tenendo conto che il potenziale
deve soddisfare in ogni punto dello spazio l'equazione
di Poisson:
dove con
si indica la carica distribuita nell'unità di volume,
ed assumere sulla superficie degli elettrodi i valori per
questi stabiliti dalle rispettive tensioni di alimentazione.
Qualora sia risolto questo primo problema, l'acquisita conoscenza delle componenti del
vettore elettrico :
permette di stabilire, come nei casi trattati nelle pagine precedenti, le equazioni del moto.
Anche se, trascurando le cariche distribuite ( e questo corrisponde a trascurare gli effetti
dovuti alla carica spaziale ), l'equazione di Poisson si riduce a quella di Laplace:
e le condizioni al contorno che si riferiscono ai valori
che il potenziale deve assumere su certe curve del
piano (XY).
Un altro caso di particolare interesse pratico è quello
in cui il sistema degli elettrodi presenta una simmetria
di rivoluzione intorno all'asse Z
In tal caso infatti, l'equazione di Laplace che in coordinate cilindriche θ.r.z è espressa dalla
relazione:
essendo il potenziale indipendente dalla coordinata θ può essere scritta nella forma:
Nonostante che sia spesso consentita la soppressione di una variabile, l'equazione
di Laplace è suscettibile di convenienti soluzioni analitiche solo se esiste la possibilità di
rappresentare analiticamente la forma degli elettrodi nei piani (X,Y) od (r,Z).
Nei rimanenti casi è necessario dedurre la distribuzione del potenziale dall'esame di
fenomeni fisici che, soddisfacendo alle medesime equazioni, siano più facilmente accessibili,
dal punto di vista di una indagine sperimentale
Campi elettrici a distribuzione piana
In una soluzione liquida percorsa da corrente elettrica e che obbedisca alla legge di Ohm,
la densità' di corrente attraverso una sezione elementare, la densità di corrente è propo-
-rzionale al gradiente di potenziale lungo la normale alla superficie.
Supponendo allora di immergere nel liquido in esame un sistema di elettrodi che rapprese-
-ntino analiticamente quelli di un tubo termoionico caratterizzato da una distribuzione piana
del campo elettrico, se la superficie libera e' nomale alle generatrici degli elettrodi, le
correnti di conduzione risultano parallele alla superficie libera del liquido;
in altri termini, assunta come direzione dell'asse Z
quella di dette generatrici, risulta nulla la componente
Iz della densità di corrente.
Considerato all'interno del liquido, un qualsiasi volume
elementare dv = dx dy dz , dovendo la somma delle
correnti entranti eguagliare quelle delle correnti
uscenti, potranno essere scritte le seguenti relazioni :
da cui
ed essendo
questo è ciò che ne risulta
Il metodo descritto consente il rilievo delle linee equipotenziali nei piani x e y.
Vasca reografica
Come indica la soprastante figura, a tale scopo un sistema di superfici metalliche che rappre-
-sentino omoteticamente gli effettivi elettrodi del tubo in esame, vengono immerse in un una
vasca contenente un liquido debolmente conduttore ed in modo che la superficie del liquido
risulti normale all'asse z e quindi alle generatrici delle superfici degli elettrodi.
Una linea equipotenziale può' essere determinata ricercando il luogo dei punti per cui mante-
-nendo invariata la posizione del cursore e del potenziometro P, non si ha scambio di corrente
tra la soluzione ed un elettrodo mobile (sonda).
Se la sonda è collegata tramite un pantografo ed una punta scrivente è possibile
ottenere il tracciamento di una linea equipotenziale, facendo seguire alla sonda una
curva di corrente nulla.
Tenendo conto che l'equazione di Laplace è omogenea i potenziali possono essere scelti
proporzionali a quelli veri.
Il metodo descritto rimane quindi valido alimentando gli elettrodi e la sonda con tensioni
alternate.
Necessariamente le tensioni che con una alimentazione in c.c. dovrebbero risultare di segno
contrario devono essere realizzate con segnali sinusoidali in opposizione di fase; la frequenza
è in genere compresa tra 10 e 600Hz.
L'impiego di potenziali alterativi permette di evitare fenomeni di elettrolisi del liquido che, se
si verificassero, potrebbero condurre a non trascurabili errori di misura, offre inoltre il
vantaggio di poter seguire la curva a corrente nulla usando, come elemento rilevatore, una
cuffia preceduta da un amplificatore di B.F..
Campi elettrici a distribuzione cilindrica
La vasca reografica consente anche lo studio del campo elettrico per tubi in cui gli
elettrodi ammettano una simmetria di rotazione.
Assumendo infatti come asse Z quello di simmetria del sistema e supponendo che la superficie
libera della vasca giaccia in un piano di simmetria, le correnti di conduzione scorrono nei piani
di simmetria.
Considerato allora il volume elementare sopra raffigurato, dovendo risultare:
Σ correnti entranti = Σ correnti uscenti
si ha:
da cui
ossia
ed essendo
da cui ne consegue
Come indica la figura a lato, la vasca
reografica deve essere opportunamente
inclinata, in maniera che la superficie
libera del liquido coincide con il piano di
simmetria.
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