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TRAIETTORIA DEGLI ELETTRONI
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
1)Generalità
Lo studio dei tubi termoionici consiste principalmente nello
stabilire quale sia la traiettoria degli elettroni che si
spostano nel campo elettrico generato dagli elettrodi in
funzione della forma e dimensioni di questi.
Quando la forma e la posizione dei vari elettrodi corrispo-
-ndono a disposizioni geometriche particolarmente semplici
il problema descritto e' di facile soluzione ma spesso le
difficoltà sono tali che si rende necessaria una determina-
-zione sperimentale dell'andamento delle linee di forza e
delle superfici equipotenziali del campo elettrico.
2) Comportamento di elettroni isolati in campi
elettrici particolarmente semplici.
a)
Campo elettrico uniforme e velocita' iniziale nulla
Supponendo che un elettrone parta dalla
posizione A rappresentata nella figura a
lato, con velocita' iniziale nulla,ed assu-
-mendo come senso positivo degli
spostamenti X e della velocita' V quella
propria del campo elettrico, per la seconda
legge di Newton si ha:
[a]
dove :
m =
la massa di un elettrone in Kg
e =
la carica di un elettrone in Coulomb
x=f(t)
la posizione dell'elettrone al tempo t, in m.
t =
il tempo in secondi
e=-(dv/dx)
la costante dell'intensità del campo elettrico
-Ee= la forma agente sull'elettrone
da cui :
ed integrando rispetto al tempo, essendo nulla la velocità iniziale, si ottiene :
ed attraverso una seconda integrazione :
Come indicano le relazioni [a], [b] e [c], il moto dell'elettrone
è uniformemrnte accellerato
la velocità diretta nel senso dei potenziali crescenti è funzione lineare del tempo.
Dalla relazione [c], eliminando la variabile tempo, si ottiene:
ed essendo per la [b]
ne risulta
Indicando con V=f(x) la differenza di potenziale E(x0-x), tra i punti di ascissa x0 ed x,
la relazione [d] diviene:
da cui risolvendo rispetto a v2 e v :
b)
Campo elettrico uniforme e velocita' iniziale (-v0) negativa e parallela alla
direzione del campo.
La relazione [b] diviene
da cui:
Dovendo essere verificata la relazione:
da cui:
ma poichè indicando con V0 la velocità v0 espressa convenzionalmente in Volts, si
ha
e
Il moto dell'elettrone è, come nel caso precedente un moto uniformemente accellerato
c)
Campo elettrico uniforme e velocita' iniziale (v0) positiva e parallela alla
direzione del campo.
Le precedenti relazioni divengono :
Come indica la relazione [f] il moto è uniformemente ritardato e la velocità si annulla
ad un valore t1 di t che rende nullo il secondo membro della relazione [e].
Di conseguenza:
[f]
corrisponde all’ascissa
Successivamente l'elettrone riparte dal punto di ascissa x1 in senso contrario e con
moto uniformemente accellerato
d)
Campo elettrico uniforme e velocita' iniziale non parallela alla direzione del campo.
Quando un elettrone entra in un campo elettrico uniforme con una velocità iniziale
che forma un angolo diverso da zero con la direzione del campo elettrico, l'elettrone
segue una traiettoria parabolica.
La figura a lato si riferisce ad un campo
elettrico uniforme con azione ritardatrice
ed il caso esaminato è analogo a quello
che si riferisce al moto di un proiettile
che in assenza di attrito sia soggetto alla
forza di gravità.
Indicando con Vx e Vy le componenti
della velocità secondo gli assi cartesiani,
poichè la forza elettrica -Ee che agisce
sull'elettrone uscente dal punto 0 ha
componente nulla sull'assex e le equa-
-zioni differenziali del moto divengono:
ossia
Le condizioni ai limiti che rendono determinate le soluzioni del problema sono le
seguenti :
Come risultato di una prima integrazione rispetto al tempo delle relazioni [g] ed [h], si
ottiene :
e da una seconda integrazione :
[i]
[l]
dalla relazione [l], si ottiene :
e sostituendo i valori ottenuti nella [i]:
[m]
Quest'ultima equazione rappresenta un parabola. Esprimendo convenzionalmente la
velocità in Volt, si ha :
ad
la relazione [m] può essere scritta nella forma:
[n]
ed il punto più alto sulla traiettoria ha le coordinate:
Con riferimento alla figura di cui sopra, essendo E=V/d, la relazione[n] diviene:
Considerato che a parità di angolo θ e la distanza d degli elettrodi che danno origine
al campo elettrico, la pendenza della traiettoria dipende unicamente dal rapporto
V/V0, può essere affermato il seguente principio :
"Se in un sistema puramente elettostatico sono fatte variare tutte le tensioni nello
stesso rapporto, rimangono immutate le triettorie degli elettroni."
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