Prima di sforzarsi di cercare le risposte si deve valutare la correttezza delle domande
ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
FENOMENI TRANSITORI NEI CIRCUITI INDUTTIVI
Si esaminerà, in questa sezione, il comportamento di un
induttore durante l’intervallo di tempo in cui esso scambia
energia con il circuito a cui è collegato.
Durante questo tempo il flusso magnetico concatenato con le
spire dell’induttore varia: quando esso aumenta si parla di
transitorio di magnetizzazione, in caso contrario di transitorio
di smagnetizzazione.
Il termine “transitorio” indica, analogamente alla carica e
scarica di un condensatore, che il fenomeno non è perma-
-nente, ma temporaneo, e pertanto cessa dopo un certo
tempo; questo avviene nelle reti in cui sono presenti gene-
-ratori elettrici di tipo continuo, che impongono tensioni e
correnti costanti nel tempo: quando l’induttore è completa-
-mente magnetizzato, la corrente che lo percorre raggiunge
il valore costante imposto dal regime di funzionamento del
circuito e la tensione ai suoi capi, nel caso di induttore ideale
privo di resistenza, si annulla.
Così non avviene nel caso di reti alimentate con generatori in corrente alternata.
Transitorio di magnetizzazione di un induttore
Si consideri la figura a destra,un circuito formato da un generatore
di tensione continua, di f.e.m. E, collegato a un induttore di
induttanza L, supposto inizialmente smagnetizzato; un interruttore
permette di collegare l’induttore al generatore.
La resistenza R rappresenta quella complessiva del circuito,
compresa la resistenza interna del generatore.
tratteremo l’argomento supponendo che l’induttore sia lineare,
con induttanza L costante; dato che , l’ipotesi fatta
implica che sia costante la permeanza magnetica e che quindi
l’induttore sia avvolto in aria o su un materiale non ferromagnetico oppure che funzioni sul
tratto lineare della caratteristica di magnetizzazione di un nucleo ferromagnetico.
Si ipotizzerà inoltre, salvo quando diversamente specificato, che l’induttore abbia una
resistenza elettrica propria nulla o comunque trascurabile rispetto a quella totale del
circuito esterno.
Per spiegare quello che avviene nel circuito durante il transitorio di magnetizzazione,
occorre considerare che il comportamento di un induttore è determinato dalla tensione di
autoinduzione, data da:
L’esame della relazione, porta a due importanti considerazioni.
• In un induttore ideale, senza resistenza elettrica propria, attraversato da una corrente
costante I e soggetto al solo flusso concatenato di autoinduzione, tale flusso è costante nel
tempo e non vi è alcuna tensione indotta; questo significa che l’induttore ideale, attrave-
-rsato da corrente costante nel tempo, si comporta come un cortocircuito
• L’induttore non consente brusche variazioni di corrente nel
circuito in cui è inserito, ossia la corrente non può “saltare” da
un valore all’altro nello stesso istante di tempo, come avverrebbe,
per esempio, nel caso indicato nella figura a sinistra.
Se così fosse si avrebbe una variazione Δi di valore finito (1 A in
figura) in un intervallo di tempo Δt = 0 e, in base alla anzidetta
relazione, nascerebbe una tensione indotta di valore infinito, cosa
evidentemente impossibile. La corrente in un induttore deve
variare, quindi, con continuità.
Si consideri, adesso, quello che avviene nel circuito sopra raffigurato in seguito alla
chiusura dell’interruttore. Verrà indicato con l’istante immediatamente precedente
la chiusura dell’interruttore, con quello immediatamente successivo a tale
chiusura e con il termine del periodo transitorio, quando le grandezze elettriche
sono a regime.
• per t = 0− (figura iniziale) l’induttore è scollegato dal generatore ed è smagnetizzato,
per cui si ha i = 0 e vL= 0;
• per t = 0+ (figura a) la corrente è ancora nulla, dato che, non essendo trascorso alcun
tempo dalla chiusura dell’interruttore e non essendo possibili salti dicorrente, si conserverà
il valore precedente; per quanto riguarda la tensione vL, essendo Ri = 0, si avrà: VL0= E,
ossia sull’induttore si localizzerà tutta la f.e.m. del generatore;
• per
(figura b) la fase transitoria si è estinta e l’induttore si comporta come un
cortocircuito, con VLf = 0; la corrente nel circuito assumerà il suo valore finale, dato da:
Durante il transitorio di magnetizzazione, l’equazione che lega la corrente alle altre
grandezze del circuito si ricava applicando il secondo principio di Kirchhoff alla
maglia:
da cui, per sostituzione, si ricava:
In quest’ultima equazione compaiono, analogamente a quella della carica del condensatore,
gli incrementi finiti delle grandezze i e t; passando agli infinitesimi di e dt, si ottiene
l’equazione differenziale seguente:
la cui soluzione dà la funzione i = f(t) che descrive l’andamento della corrente durante
la fase di magnetizzazione dell’induttore.
La tensione indotta è legata alla f.e.m. e alla corrente dalla relazione seguente, che
si ricava da:
Per arrivare in modo intuitivo a definire i grafici della corrente e della tensione indotta
si possono fare le seguenti considerazioni:
• all’istante iniziale di chiusura dell’interruttore, la corrente è nulla e la tensione
indotta ha il valore iniziale VL0= E;
• a regime la corrente arriva al valore finale If = E/R e la tensione tende a zero;
• durante il periodo transitorio la corrente aumenta e la tensione indotta, per l’ultima
relazione espressa, diminuisce;
• la pendenza della curva della corrente, rappresentata dai valori del rapporto
incrementale:
diminuisce, in quanto si riduce vL; la corrente, pertanto, aumenterà con incrementi
sempre minori.
La corrente e la tensione indotta varieranno, in base alle considerazioni esposte e
analogamente a quanto succede nella carica di un condensatore, secondo gli
andamenti esponenziali delle figure a) e b), di tipo crescente per la corrente e decrescente
per la tensione.
Le relative espressioni matematiche sono le seguenti:
dove è la costante di tempo del sistema.
Anche in questo caso è possibile definire il tempo di assestamento all’1%, dato da:
e avente significato identico a quello introdotto per i condensatori.
Espressione della costante di tempo
È possibile ricavare l’espressione della costante di tempo del circuito R-L partendo
dalla seguente definizione:
la costante di tempo è uguale al tempo necessario per magnetizzare l’induttore fino
a una corrente pari a quella finale E/R, supponendo che la magnetizzazione avvenga
con tensione costante, uguale a quella iniziale.
In questo caso la tensione indotta dovrà sempre essere uguale a quella iniziale E; il
flusso concatenato varierà da zero a nel tempo
e quindi dovrà essere:
da cui si ricava:
che rappresenta la costante di tempo del circuiro L-R
Dall’esame dell’espressione della costante di tempo, si deduce che:
• all’aumentare della resistenza elettrica del circuito la costante di tempo diminuisce
e la magnetizzazione dell’induttore avviene più velocemente;
• all’aumentare dell’induttanza la costante di tempo aumenta e il fenomeno diventa
più lento; dato che l’energia magnetica è direttamente proporzionale a L, aumenta
anche l’energia accumulata nell’induttore al termine della sua magnetizzazione.
Caso dell’induttore inizialmente magnetizzato
Se l’induttore è inizialmente magnetizzato, con corrente iniziale Io, e tende esponenzia-
-lmente alla corrente If , la legge di variazione della corrente è data da:
rappresentata dal sottostante grafico:
L’espressione della corrente può essere considerata una formula generale, valida ogni
volta che la corrente varia esponenzialmente da un valore iniziale a uno finale.
Da essa discende l’espressione
come caso particolare per Io= 0.
Una formula analoga può essere scritta per la tensione indotta:
Esempio: Un induttore di induttanza L = 0,1 H, inizialmente smagnetizzato, viene collegato
a un generatore di f.e.m. E = 100 V, tramite un circuito che presenta complessiva-
-mente una resistenza di 10 Ω.
Calcolare: la costante di tempo, la tensione indotta iniziale, la corrente finale, il
tempo di assestamento all’1% e l’energia magnetica accumulata dopo tale tempo.
Con le soprastanti formule, si calcolano i valori della costante di tempo e del tempo di
assestamento:
La tensione indotta iniziale è uguale alla f.e.m. del generatore: VLo= E = 100 V
La corrente finale è data da:
Al tempo di assestamento la corrente nell’induttore è il 99% di quella finale, ossia
uguale a:
e, quindi, l’energia magnetica accumulata nell’induttore è pari a:
Esempio: Per l’induttore dell’esempio precedente calcolare la corrente nel circuito e la
tensione indotta al tempo t1 = 30 ms e il tempo t2 necessario affinché la corrente
arrivi al valore I2 = 8 A.
Dato che l’induttore è inizialmente smagnetizzato, la corrente e la tensione varieranno
con le note leggi espresse; sostituendo il valore di t1 si ha:
Per calcolare il tempo t2 bisogna applicare la formula
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