Ma a voi il calcio vi ha tarlato il cervello, ma fin da piccoli, eh?
ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
RISOLUZIONE DELLE RETI ELETTRICHE LINEARI
Scopo di questo capitolo,è ottenere i seguenti risultati :
•
conoscere i principali metodi di risoluzione di una rete
elettrica lineare;
•
saper risolvere completamente una rete, ricavandone
le grandezze elettriche di tutti i lati, mediante il metodo
di risoluzione indicato;
•
saper risolvere completamente una rete scegliendo
autonomamente il metodo di risoluzione più appropriato;
•
saper risolvere parzialmente una rete, calcolando le
grandezze elettriche richieste dalle specifiche del problema;
•
saper analizzare il comportamento dei bipoli costituenti
la rete e saper eseguire il bilancio energetico della stessa;
•
essere in grado di verificare sperimentalmente i metodi
di risoluzione studiati.
Tutti gli obiettivi si riferiscono a reti elettriche lineari di
media complessità, funzionanti in corrente continua e
alimentate da uno o più generatori
Risoluzione di un sistema di equazioni lineari
Sistema di equazioni lineari
Un’equazione nelle n incognite x1, x2, …, xn, si dice di 1° grado o lineare quando può
essere ridotta alla forma seguente, in cui tutte le incognite compaiono alla prima potenza:
dove a1, a2, …, an sono dei numeri reali noti, detti coefficienti delle incognite, e h è il
termine noto, anch’esso di tipo reale. L’equazione è omogenea se h = 0, non omogenea in
caso contrario.
Considerando un insieme di n equazioni nelle n incognite indicate, si ottiene un
sistema di equazioni lineari:
Si chiama soluzione del sistema un gruppo ordinato di n numeri che, sostituiti alle n
incognite, soddisfano tutte le equazioni del sistema.
Nel seguito, limitandosi a un massimo di tre equazioni, le incognite verranno indicate
con i simboli x, y e z.
Metodo di confronto
Il metodo di confronto è adatto ai sistemi di due equazioni e si applica usando la
seguente procedura:
1. si ricava dalle due equazioni la stessa incognita, ponendo ogni equazione
nella forma x = …, oppure y = …;
2. si uguagliano i secondi membri, ottenendo un’equazione in una sola incognita;
3. si risolve l’equazione, ricavando il valore dell’incognita;
4. si sostituisce il valore in una delle equazioni e si ricava l’altra incognita.
Per chiarire la procedura, si segua la risoluzione del seguente sistema:
Metodo di sostituzione
Le operazioni da seguire per applicare il metodo di sostituzione sono le seguenti:
1. si ricava da un’equazione una delle incognite, ottenendo un’espressione in
funzione delle altre incognite;
2. si sostituisce l’espressione in tutte le restanti equazioni, ottenendo n – 1
equazioni in n – 1 incognite;
3. per questo sistema ridotto si ripetono le operazioni 1 e 2, fino a ottenere una
sola equazione in una incognita;
4. si risolve l’equazione e si ricava il valore dell’incognita;
5. rifacendo a ritroso il cammino percorso, si calcolano le altre incognite.
Per chiarire la procedura si segua la risoluzione del seguente sistema:
Metodo di riduzione
Nel caso di sistemi con due equazioni la procedura da seguire per applicare questo
metodo è la seguente:
•
si moltiplica ogni equazione per un numero reale diverso da zero, in modo
che i coefficienti di una incognita (per esempio x) risultino opposti nelle due
equazioni;
•
si sommano membro a membro le due equazioni, in modo da ottenere una
terza equazione, combinazione lineare delle due iniziali, in una sola incognita (y,
nell’esempio);
•
si risolve l’equazione ottenuta, determinando il valore di un’incognita;
•
si sostituisce tale valore in una delle equazioni iniziali e, risolvendola, si ottiene il
valore dell’altra incognita.
Per maggiori chiarimenti si consideri l’esempio seguente:
I coefficienti di x, 6 e 4, hanno minimo comune multiplo pari a 12, per cui,
moltiplicando la prima equazione per 2 e la seconda per – 3 e sommando membro a
membro, si ottiene:
Metodo di Cramer
Quello di Cramer è un metodo applicabile a sistemi lineari con un qualsiasi numero
di equazioni e fa uso dei concetti di matrice e determinante.
Dato che tali concetti esulano dai limiti del testo, ci si limiterà a riportare le formule
risolutive valide per un sistema di due equazioni, scritto nella forma
La soluzione del sistema è data da
valida quando è verificata la condizione
Nel caso del sistema dell’esempio precedente, i coefficienti e i termini noti sono:
a1 = 6 b1 = −7 c1 = 1 a2 = 4 b2 = −2 c2 = 10
e, quindi, essendo rispettata la condizione:
le soluzioni del sistema sono date da:
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