Una cosa buona non ci piace, se non ne siamo all'altezza
ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
MAGLIE, NODI, LEGGI DI KIRCHHOFF
Si consideri un insieme di bipoli elettrici collegati tra loro,
costituenti in generale una rete elettrica.
Si definisce maglia una qualunque successione di bipoli della
rete, scelti in modo da costituire un percorso chiuso.
Si definisce nodo un qualsiasi punto della rete a cui sono
connessi più di due bipoli.
Si consideri la sotostante rete , costituita da sei generici bipoli
collegati tra loro da corto circuiti ideali; in essa si possono
individuare tre maglie (percorsi ABCDEFGA, ABCDA, ADEFGA)
e due nodi (punti A e D), a ognuno dei quali sono collegati tre
bipoli.
Gli altri punti della rete indicati con lettere non sono nodi,
dato che non soddisfano la condizione enunciata, essendo
collegati a due soli bipoli.
Si definiscono lati di una rete le parti che collegano tra loro
due nodi adiacenti e che comprendono uno o più bipoli.
Esempio di rete di bipoli elettrici.
Nel caso della soprastante figura, vi sono tre lati, costituiti dai percorsi tra i nodi A e D e
comprendenti, rispettivamente, i bipoli 1 e 2, il bipolo 3 e i bipoli 4, 5 e 6.
Ai nodi e alle maglie di una rete vengono applicate le leggi di Kirchhoff delle correnti
e delle tensioni, detti anche primo e secondo principio di Kirchhoff
Legge di Kirchhoff delle correnti (o primo principio di Kirchhoff)
Si consideri il nodo A di una generica rete elettrica, in cui convergono i bipoli 1, 2, 3, 4, 5,
ognuno percorso da corrente nel verso indicato.
Legge di Kirchhoff
delle correnti
In regime stazionario non ci deve essere variazione di carica elettrica nel nodo, in modo che
il suo potenziale rimanga costante e quindi, nello stesso intervallo di tempo, alla carica che
arriva al nodo deve corrispondere una uguale quantità di carica in partenza dallo stesso.
Dato che la carica nell’unità di tempo corrisponde alla intensità di corrente, risulta evidente
che la corrente totale entrante nel nodo (somma delle singole correnti dirette verso il nodo)
deve essere uguale alla corrente totale uscente dal nodo (somma delle singole correnti
dirette dal nodo verso l’esterno).
Quanto sopra costituisce la legge di Kirchhoff delle correnti (KLC: Kirchhoff’s Law Currents),
così esprimibile:
la somma delle correnti dirette verso un nodo di una rete elettrica è uguale alla
somma delle correnti che se ne allontanano.
In forma analitica si ha:
Portando tutti i termini al primo membro, l’equazione diventa
in cui le varie correnti compaiono in valore e segno, positive quelle entranti e negative quelle
uscenti.
Poiché cambiando segno a tutti i termini l’equazione rimane soddisfatta, si ha anche:
in cui figurano come negative le correnti entranti e con segno positivo quelle uscenti.
Le considerazioni precedenti consentono di esprimere la legge di Kirchhoff delle
correnti anche nel modo seguente:
attribuendo un verso arbitrario alle correnti che confluiscono in un nodo, la somma
algebrica delle varie intensità di corrente deve essere nulla.
L’arbitrarietà del verso è giustificata dall’equivalenza delle sopra esposte espressioni.
È evidente però che, in base al regime di funzionamento della rete, i versi delle varie correnti
sono definiti. Come si vedrà in seguito, a riguardo della risoluzione di reti complesse,
l’applicazione dei principi di Kirchhoff porta a un sistema di equazioni aventi come incognite le
correnti dei vari lati, risolvendo il quale si determinano, in valore e segno, le varie correnti.
L’esame dei segni dei vari risultati porta alle seguenti conclusioni:
•
per i lati con correnti positive il verso effettivo della corrente corrisponde a quello
arbitrariamente scelto all’atto della scrittura delle equazioni;
•
per i lati con correnti negative il verso effettivo della corrente è opposto a quello
arbitrario
A titolo di esempio calcoliamo, per la parte di rete della sottostante figura, il valore della
corrente nel bipolo 3.
La corrente I3 dovrà essere senz’altro diretta verso il nodo A, per bilanciare la maggior
corrente uscente e, quindi, si avrà:
da cui
Legge di Kirchhoff delle tensioni (o secondo principio di Kirchhoff)
Si consideri la maglia rappresentata nella figura A2.19, formata da cinque generici
bipoli, sui quali sono state indicate le polarità delle tensioni.
Se, partendo da un punto generico (per esempio dal nodo A), si effettua un percorso
chiuso secondo un verso di percorrenza arbitrario, orario o antiorario, e si sommano le
tensioni dei singoli bipoli, si ottiene una tensione risultante nulla, in quanto la d.d.p.
elettrico tra un punto e se stesso è necessariamente zero ( ). )
Supponendo di percorrere la maglia in senso antiorario e considerando positive le tensioni
dei bipoli che presentano, in base al senso di percorrenza scelto, come punto d’ingresso il
morsetto con tensione positiva e come punto d’uscita quello negativo, si ha:
Cambiando segno a tutti i termini, l’equazione rimane soddisfatta e quindi si ha anche:
Il cambiamento di segno equivale a considerare positive le tensioni dei bipoli che
vengono percorsi dal morsetto negativo a quello positivo della tensione e quindi la
scelta della convenzione di segno è indifferente.
L’ultima equazione si ottiene anche percorrendo la maglia in senso orario e adottando la
prima convenzione di segno, il che dimostra che anche la scelta del senso di percorrenza è
ininfluente sull’equazione.
Quanto sopra costituisce la legge di Kirchhoff delle tensioni (KLV: Kirchhoff’s Law Voltages),
così esprimibile:
la somma algebrica delle tensioni che agiscono in qualsiasi maglia di una rete
elettrica è uguale a zero.
Nelle espressioni [A2.4] e [A2.5] le tensioni dei singoli bipoli dovranno essere poi
esplicitate, utilizzando le leggi relative ai bipoli stessi, come evidenziato nell’esempio
seguente:
Scrivere l’equazione di Kirchhoff delle tensioni per la seguente maglia
Nello schema in esame i tre lati della maglia sono costituiti da generatori ideali di tensione e
da resistori; per questi bipoli valgono le seguenti regole:
•
le tensioni dei generatori ideali sono già definite in valore e segno, dato che corrispon-
-dono alle f.e.m.;
•
le tensioni dei resistori sono date dai prodotti V = RI, con il segno positivo nel morsetto
in cui entra la corrente (convenzione di segno degli utilizzatori).
Percorrendo la maglia in senso antiorario e considerando positive le tensioni dei
bipoli in cui
si entra dal morsetto “+”, l’equazione richiesta è:
È interessante osservare che per i resistori aventi corrente con il verso concorde a
quello di percorrenza della maglia le relative tensioni figurano nell’equazione con il
segno positivo e viceversa-
Dall’esempio precedente si possono ricavare le seguenti regole pratiche per la
scrittura della legge di Kirchhoff delle tensioni:
•
per i generatori ideali di tensione le relative f.e.m. saranno considerate positive
se, in base al verso di percorrenza scelto, si entra dal morsetto positivo del
generatore stesso e viceversa
•
per i resistori le relative tensioni saranno considerate positive se il verso di
percorrenza coincide con quello della corrente e viceversa.
Dato che è possibile sempre invertire il segno dei vari termini dell’equazione è
corretta anche la scelta opposta; nel prosieguo del testo, per evitare confusioni, le
equazioni delle tensioni verranno scritte con le convenzioni sopra indicate.
Tensione tra due punti
Si riconsideri il soprastante circuito. L’equazione enunciata può essere scritta nel modo
seguente:
Il secondo membro dell’equazione rappresenta la tensione sul resistore R3, ossia la
tensione tra i punti A e B; data l’uguaglianza dei due membri è evidente che anche il
primo corrisponde alla stessa tensione e quindi si può scrivere:
Questo consente di formulare la seguente regola per il calcolo della tensione tra due punti di
una rete elettrica:
per calcolare la tensione tra due punti di una rete è necessario scegliere un
percorso qualsiasi che vada dal primo al secondo punto e sommare le tensioni
dei vari bipoli incontrati lungo il percorso, secondo le regole indicate per la
legge di Kirchhoff delle tensioni, ossia considerando positive le f.e.m. dei bipoli
attivi quando il primo morsetto incontrato è il “+” e viceversa e positive le
tensioni sui resistori quando il percorso coincide con quello della corrente e
viceversa.
Ad esempio calcolare la tensione VAC per la rete della seguente figura, di cui sono già note
le f.e.m. dei bipoli attivi e le correnti nei vari lati.
Per andare da A a C sono possibili quattro differenti percorsi e quindi si può calcolare la
tensione richiesta in quattro modi differenti, ottenendo sempre lo stesso risultato:
La scelta del percorso più comodo per calcolare la tensione tra due punti dipende
dai dati a disposizione; nel caso in esame, conoscendo tutte le correnti, era possibile
avvalersi di tutti i percorsi; è evidente che quello che consente il calcolo più immediato è il
percorso che comprende il solo resistore R2
Ancora per esempio, per la rete in figura calcolare la tensione VAB ai capi del generatore
ideale di corrente.
Il generatore ideale di corrente è un bipolo in cui è definito il valore della corrente, ma non
quello della tensione ai capi, che dipende dal regime di funzionamento del circuito; per
questa ragione non è possibile scegliere come percorso quello comprendente il generatore
stesso.
Ricavando la tensione dai due percorsi possibili e tenendo conto che I2 = 0,12 A (E1/R2), si
ottiene:
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